Alexei Morosow begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt im Nachwuchsbereich von Krylja Sowetow Moskau, für dessen Profimannschaft er von 1993 bis 1997 in der höchsten russischen Spielklasse aktiv war. In der Saison 1994/95 gehörte der Stürmer auch zur Delegation Kryljas, die unter dem Namen Soviet Wings Freundschaftsspiele gegen Teams der nordamerikanischen International Hockey League bestritt. Im NHL Entry Draft 1995 wurde der Flügelspieler in der ersten Runde als insgesamt 24. Spieler von den Pittsburgh Penguins ausgewählt, für die er von 1997 bis 2004 insgesamt sieben Jahre lang in der National Hockey League auf dem Eis stand. Zudem wurde er beim CHL Import Draft 1996 in der zweiten Runde von den Regina Pats als insgesamt 65. Spieler gezogen, diese kamen wegen der Rechte der Penguins jedoch nicht zum Zuge. 2004 kehrte er in seine russische Heimat zurück, wo er einen Vertrag bei Ak Bars Kasan in der Superliga erhielt.
Mit Kasan wurde der Linksschütze in der Saison 2005/06 erstmals russischer Meister. An diesem Erfolg hatte er als Topscorer und bester Torschütze der Hauptrunde sowie Topscorer, bester Torschütze und Vorlagengeber der Playoffs maßgeblichen Anteil. Nach der Vize-Meisterschaft 2007 gewann er in der Saison 2008/09, der neu gegründeten Kontinentalen Hockey-Liga, den Gagarin-Pokal mit Kasan. Mit Ak Bars gewann der Olympiateilnehmer von 1998 zudem auf europäischer Ebene 2007 den IIHF European Champions Cup. Als wertvollster Spieler, bester Stürmer, Topscorer und bester Vorlagengeber des Turniers war er erneut maßgeblich am Titelgewinn beteiligt. Im folgenden Jahr gewann der ehemalige NHL-Spieler mit Kasan den IIHF Continental Cup. Zuletzt konnte er in der Saison 2009/10 mit Kasan erneut den Gagarin-Pokal gewinnen.
Im Mai 2013 verließ er genauso wie Danis Saripow, mit dem er über viele Jahre in einer Reihe gespielt hatte, den Verein. Morosow erhielt beim HK ZSKA Moskau einen Zweijahresvertrag.[1] Für den ZSKA sammelte er 23 Scorerpunkte in 42 Saisonpartien, ehe sein Vertrag im Juli 2014 vorzeitig aufgelöst wurde.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)