Arthur Rouse besuchte die öffentlichen Schulen seiner Heimat und danach bis 1896 das Hanover College in Indiana. Nach einem anschließenden Jurastudium an der Louisville Law School und seiner im Jahr 1900 erfolgten Zulassung als Rechtsanwalt begann er in Burlington in diesem Beruf zu arbeiten. Im Jahr 1907 wurde Rouse Sekretär der staatlichen Rennkommission von Kentucky. Dieses Amt bekleidete er bis 1911. Danach arbeitete er für die Steuerbehörde seines Staates. Außerdem war er für die Kongressabgeordneten Daniel Linn Gooch und Joseph L. Rhinock tätig.
1926 verzichtete er auf eine erneute Kandidatur. In den folgenden Jahren praktizierte er wieder als Anwalt; außerdem betrieb er einige Busgesellschaften. Seit 1935 war er beim Bundesgericht für den östlichen Bezirk von Kentucky angestellt. Dort arbeitete er bis zu seiner krankheitsbedingten Kündigung im Januar 1953. Arthur Rouse starb am 25. Januar 1956 in Lexington und wurde dort auch beigesetzt.