Après trois saisons passé au niveau junior avec les Canadians de Kingston de l'Association de hockey de l'Ontario, ancêtre de la LHO, Linseman se voit être réclamé par les Bulls de Birmingham lors du repêchage amateur de l'Association mondiale de hockey en 1977. Dès la saison suivante il devient joueur professionnel en rejoignant les Bulls avec qui inscrit 76 points en 71 rencontres.
L'été suivant les Flyers de Philadelphie font de lui leur choix de première ronde, septième joueur au total à être sélectionné lors de l'encan annuel. Il se joint alors au Flyers, partageant sa première saison entre ces derniers et leur club affilié dans la Ligue américaine de hockey, les Mariners du Maine. Il obtient un poste à temps plein avec les Flyers dès l'année suivante et reste avec eux jusqu'à l'été 1982 où il passe aux Oilers d'Edmonton.
Après avoir remporté la Coupe Stanley avec les Oilers en 1984, ces derniers le cèdent aux Bruins de Boston. Il passe cinq saisons avec Boston, les aidant à atteindre la finale de la Coupe en 1988 face à son ancienne équipe, les Oilers.
Il partage la saison 1989-1990 entre les Bruins et les Flyers avant de retourner à Edmonton l'année suivante et ce, pour une saison. À l'été 1992, les Maple Leafs de Toronto font son acquisition en retour d'une somme d'argent. L'attaquant ne joue que deux rencontres avec les Leafs avant de se joindre au Asiago Hockey AS de la Série A en Italie pour cinq parties au terme desquelles il annonce son retrait de la compétition.
Au niveau international, il remporta la médaille d'argent avec l'équipe du Canada à la Coupe Canada 1981.