Share to:

Loi des cotangentes

Fig. 1. Notations usuelles dans un triangle.

Cet article est une ébauche concernant la géométrie.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En géométrie du triangle, la loi des cotangentes est une relation entre les longueurs $a$ , $b$ et $c$ des côtés d'un triangle et les cotangentes de ses angles moitiés $α / 2$ , $β / 2$ et $γ / 2$ :

{\frac {\cot({\tfrac {\alpha }{2}})}{p-a}}={\frac {\cot({\tfrac {\beta }{2}})}{p-b}}={\frac {\cot({\tfrac {\gamma }{2}})}{p-c}}={\frac {1}{r}},

où $p = a + b + c / 2$ désigne le demi-périmètre et $r$ le rayon du cercle inscrit.

Démonstration

Découpons le triangle (cf. Fig. 2) en six triangles rectangles, symétriques deux par deux par rapport aux bissectrices et de côtés $(AM, r, x)$ , $(BM, r, y)$ et $(CM, r, z)$ , avec $x + y = c$ , $y + z = a$ et $z + x = b$ . Alors, $2 x + a = 2 x + y + z = b + c$ donc $x = b + c - a / 2 = p - a$ donc $cot(α /2) = x / r = p - a / r$ donc $cot(α /2) / p - a$ = $1 / r$ . De même, $cot(β /2) / p - b$ = $1 / r$ et $cot(γ /2) / p - c$ = $1 / r$ .

Corollaire

On déduit de la loi des cotangentes une expression du rayon $r$ du cercle inscrit, en fonction des longueurs des côtés (et de leur demi-somme $p$ ) :

r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

En effet, la somme des angles $α / 2$ , $β / 2$ et $γ / 2$ est égale à $π / 2$ donc sa cotangente est nulle, c'est-à-dire (d'après la formule d'addition pour les cotangentes) que le produit et la somme des cotangentes de ces trois angles sont égaux, donc

(p-a)(p-b)(p-c)=r^{3}\cot({\tfrac {\alpha }{2}})\cot({\tfrac {\beta }{2}})\cot({\tfrac {\gamma }{2}})=r^{3}\left[\cot({\tfrac {\alpha }{2}})+\cot({\tfrac {\beta }{2}})+\cot({\tfrac {\gamma }{2}})\right]=r^{2}\left[(p-a)+(p-b)+(p-c)\right]=r^{2}p,

d'où l'expression annoncée.

Puisque (cf. Fig. 2) l'aire du triangle est $S = rp$ , cette expression de $r$ équivaut à la formule de Héron :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Voir aussi

v · m

Trigonométrie

Trigonométrie du cercle

Fonctions trigonométriques	Cosinus Sinus Tangente Cotangente Sécante Cosécante sinus verse
Fonctions circulaires réciproques	Arc cosinus Arc sinus Arc tangente Arc cotangente Arc sécante Arc cosécante
Intégrales trigonométriques	Cosinus intégral Sinus intégral
Relations	Identité trigonométrique Identité trigonométrique pythagoricienne Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes

Trigonométrie hyperbolique

Fonction hyperbolique	Cosinus hyperbolique Sinus hyperbolique Tangente hyperbolique Cotangente hyperbolique Sécante hyperbolique Cosécante hyperbolique
Fonction hyperbolique réciproque	Cosinus hyperbolique réciproque Sinus hyperbolique réciproque Tangente hyperbolique réciproque Cotangente hyperbolique réciproque Sécante hyperbolique réciproque Cosécante hyperbolique réciproque

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron

Portail de la géométrie

Read other articles:

عمليات تنظيم القاعدة في أوروبا

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2023) عَلَمْ تنظيم القاعدة. نَفذ تنظيم القاعدة عدة هجمات في أوروبا وخطط لعمليات أخرى بدول عديدة، حيث إِنْضَوَى أعضاء التنظيم بأنشطة مسلحة صُنفت كأعمال إرهابية. حي...

John Bowman (Canadian football)

American gridiron football player and coach (born 1982) John BowmanBC LionsBowman with the Lions in 2022Born: (1982-07-19) July 19, 1982 (age 41)Brooklyn, New YorkCareer informationCFL statusAmericanPosition(s)Defensive line coachHeight6 ft 3 in (191 cm)Weight255 lb (116 kg)CollegeWingateNFL draft2005 / UndraftedCareer historyAs coach2022–presentBC LionsAs player2005Daytona Beach Hawgs2005Sioux City Bandits2006Rome Renegades2006–2020Montreal Alouett...

Indian locomotive class WCAM-1

Indian Railway class AC and DC mix electric locomotive This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Indian locomotive class WCAM-1 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2011) (Learn how and when to remove this template message) WCAM-1[1]Type and originPower typeElectricDesignerRDSO...

روجر غريفيثز

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) روجر غريفيثز معلومات شخصية الميلاد 20 فبراير 1945(1945-02-20)هيرفورد تاريخ الوفاة 19 يوليو 2006 (عن عمر ناهز 61 عاماً) مركز اللعب مدافع الجنسية المملكة المتحدة �...

あさかぜ (列車)

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2012年8月）あさかぜ EF66牽引「あさかぜ」2003年2月22日、横浜駅にて概要国日本種類寝台特別急行列車現況廃止地域東京都・神奈川県・静岡県・愛知県・岐阜県・滋賀県・京都府・大阪府・兵庫県・岡山県・広島県・山口...

Kota Blitar

Blitar beralih ke halaman ini. Untuk kabupaten bernama sama, lihat Kabupaten Blitar. Untuk kegunaan lain, lihat Blitar (disambiguasi). Kota BlitarKotaTranskripsi bahasa daerah • Hanacarakaꦧ꧀ꦭꦶꦠꦂ • PegonبليتارMakam Presiden Soekarno LambangJulukan: Kota PETAKota PatriaMotto: Kridha hangudi jaya(Jawa) Kerja keras demi membangun kejayaanPetaKota BlitarPetaKoordinat: 8°5′55″S 112°9′55″E / 8.09861°S 112.1...

Ley (Mosela)

Coordenadas: 48° 44' 11 N 6° 39' 26 E Ley Comuna francesa Localização LeyLocalização de Ley na França Coordenadas 48° 44' 11 N 6° 39' 26 E País França Região Grande Leste Departamento Mosela Características geográficas Área total 6,13 km² População total (2018) [1] 100 hab. Densidade 16,3 hab./km² Código Postal 57810 Código INSEE 57397 Ley é uma comuna francesa na região administrativa de Gran...

Better Man (lagu Little Big Town)

Better ManSingel oleh Little Big Towndari album The BreakerDirilis20 Oktober 2016 (2016-10-20)GenreCountryDurasi4:21LabelCapitol NashvillePenciptaTaylor SwiftProduserJay JoyceKronologi singel Little Big Town One of Those Days (2016) Better Man (2016) Happy People (2017) Video musikBetter Man di YouTube Better Man adalah lagu yang direkam oleh grup musik country Amerika Serikat Little Big Town, dirilis pada 20 Oktober 2016.[1] Ini dijadikan sebagai singel utama dari album studio k...

Thomas Roberts (television journalist)

American television journalist For other people named Thomas Roberts, see Thomas Roberts (disambiguation). This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Thomas Roberts television journalist – news · newspa...

Justus Heinrich Müller

Signatur von Justus Heinrich Müller, 1817 Justus Heinrich Müller (* 29. September 1783 in Kassel; † 28. Oktober 1825 in Göttingen[1]) war ein deutscher Architekt und Baubeamter. Inhaltsverzeichnis 1 Ausbildung und Wirken 2 Lehrtätigkeit 3 Familie 4 Bauten und Entwürfe 5 Archivalien 6 Literatur 7 Einzelnachweise Ausbildung und Wirken Justus Heinrich Müller studierte Architektur bei Heinrich Christoph Jussow an der Kunstakademie Kassel.[2] Wohl ab 1801 war Müller unter ...

Riva di Solto

Comune in Lombardy, ItalyRiva di SoltoComuneComune di Riva di SoltoRiva di Solto Coat of armsLocation of Riva di Solto Riva di SoltoLocation of Riva di Solto in ItalyShow map of ItalyRiva di SoltoRiva di Solto (Lombardy)Show map of LombardyCoordinates: 45°46′N 10°2′E / 45.767°N 10.033°E / 45.767; 10.033CountryItalyRegionLombardyProvinceBergamo (BG)FrazioniGargarino, Zorzino, ZuGovernment • MayorNorma PoliniArea[1] • Total8.6&...

Edmund Ho

Dalam nama Tionghoa ini, nama keluarganya adalah Ho. Edmund HoHo Hau-wah何厚鏵Ho pada 2006Ketua Eksekutif Makau ke-1Masa jabatan(Pelaksana tugas: 1 – 20 Desember) 20 Desember 1999 – 20 Desember 2009Perdana Menteri TiongkokZhu RongjiWen JiabaoPendahuluJabatan dibentukVasco Rocha Vieira (sebagai Gubernur Makau)PenggantiFernando Chui Sai OnWakil Ketua Komite Nasional Konferensi Permusyawaratan Politik Rakyat TiongkokPetahanaMulai menjabat 13 Maret 2010KetuaJia QinglinYu Zheng...

Raquetebol nos Jogos Pan-Americanos de 2019 - Equipes masculinas

Raquetebol nosJogos Pan-Americanos de 2019 Individual masc fem Duplas masc fem Equipes masc fem A competição de equipes masculinas foi um dos eventos do raquetebol nos Jogos Pan-Americanos de 2019, em Lima. Foi disputada no cluster da Villa Deportiva Regional del Callao de 7 a 10 de agosto.[1][2] A Bolívia ganhou o ouro por equipes masculinas pela primeira vez na história dos Jogos Pan-Americanos, quebrando a hegemonia mexicana em todas as ediçõ...

National Translation Mission

See also: Directorate of Language Planning and Implementation This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (March 2015) (Learn how and when to remove this template message) This article may need to be rewr...

Mark 14

Chapter of the New Testament This article is about the chapter of the Gospel of Mark. For other uses, see Mark XIV. Mark 14← chapter 13chapter 15 →The Latin text of Mark 11:10–14:32 in Codex Gigas (13th century)BookGospel of MarkCategoryGospelChristian Bible partNew TestamentOrder in the Christian part2 Gospel of Mark Chapters Mark 1 Mark 2 Mark 3 Mark 4 Mark 5 Mark 6 Mark 7 Mark 8 Mark 9 Mark 10 Mark 11 Mark 12 Mark 13 Mark 14 Mark 15 Mark 16 Mark 14 is the fourteenth chapter...

Panachikkadu Temple

Hindu temple in Kerala, India Panachikkadu TempleReligionAffiliationHinduismDistrictKottayamDeityDakshina Mookambika(Saraswathi)FestivalsNavaratri[1]LocationLocationPanachikkadStateKeralaCountry IndiaDakshina Saraswathi Temple, Panachikkad, Kottayam, KeralaGeographic coordinates9°32′16.4″N 76°33′09.4″E / 9.537889°N 76.552611°E / 9.537889; 76.552611ArchitectureTypeArchitecture of KeralaSpecificationsTemple(s)OneElevation40.18 m (132 ft...

Turkish Kurdistan

Kurdish inhabited area of Turkey Kurdish-inhabited regions of Turkey according to The World Factbook Part of a series on: Kurdish history and Kurdish culture People List of Kurds Population Homeland Kurdistan Turkey (Northern Kurdistan) Iran (Eastern Kurdistan) Iraq (Southern Kurdistan) Syria (Western Kurdistan) Diaspora Armenia Australia Azerbaijan Belgium Canada Czech Republic Denmark Finland France Georgia Germany Greece Iraq Iran Ireland Israel Japan Jordan Kazakhstan Lebanon Nethe...

Marvel Crosson

American aviator (1900–1929) Marvel CrossonCrosson in the cockpit of a Ryan Brougham, ca. 1929Born(1900-04-27)April 27, 1900Warsaw, Indiana, USDiedAugust 19, 1929(1929-08-19) (aged 29)Arizona, USKnown forAviator Marvel Crosson (April 27, 1900 – August 19, 1929) was a pioneer aviator, and the first female pilot to earn a commercial license in the Territory of Alaska. She worked in both California and Alaska, dying in a crash during the first Women's Air Derby. She was inducted in...

Sandwich compound

Chemical compound made of two ring ligands bound to a metal This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Sandwich compound – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2017) (Learn how and when to remove this template message) Space-filling model of ferrocene, the archetypal sandwich compound In organometallic chemistry, a sandwich compound i...

Distrito de Santa Ana (El Salvador)

Municipios del Distrito de Santa Ana enumerados de acorde al artículo. El Distrito de Santa Ana, es uno de los tres distritos en que se divide el departamento de Santa Ana, en El Salvador. Fue creado en 1786, perteneciendo a la Intendencia de San Salvador. El Distrito de Santa Ana está formado por los siguientes municipios: Santa Ana Texistepeque Coatepeque y El Congo Control de autoridades Proyectos Wikimedia Datos: Q5809164 Datos: Q5809164

Kembali kehalaman sebelumnya