O teorema de Hasse-Minkowski é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes localmente en todos os lugares, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo. O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais .

A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e p-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo p-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

Sexa ${\displaystyle f}$ unha forma cadrática sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e para ${\displaystyle p\in V{\text{ sexa }}f_{p}}$ a forma considerada sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (o que ten sentido pois ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}}$). Daquela ${\displaystyle f}$ representa ${\displaystyle 0}$ se e só se ${\displaystyle f_{p}}$ representa ${\displaystyle 0}$ para todo ${\displaystyle p\in V}$.

Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$).

Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ debemos probar que existe solución en todos os corpos locais ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Temos ${\displaystyle f(x,y,z)=5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}}$^[1] e queremos saber se ten solución ${\displaystyle f(x_{0},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q} ^{3}}$.

Desglosamos varios casos:

• En ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ onde ${\displaystyle p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$.

Sábese que en todo corpo finito existe solución para unha forma cadrática en polo menos 3 variábeis. Polo tanto temos unha solución non trivial de ${\displaystyle 5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$ onde algún de ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$ é non divisíbel por ${\displaystyle p}$, supomos que é ${\displaystyle x_{0}}$, así fica ${\displaystyle f(x)=5x^{2}+7y_{0}^{2}-13z_{0}^{2}}$ con valoración p-ádica ${\displaystyle v_{p}(f(x_{0}))\geq 1}$. Mentres que teríamos ${\displaystyle f'(x_{0})=10x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ posto que ${\displaystyle p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot x_{0}}$. Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución ${\displaystyle f({\overline {x_{0}}},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q_{p}} ^{3}}$.

• En ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

Para ${\displaystyle y_{0}=0,z_{0}=1}$ temos ${\displaystyle f(x)=5x^{2}-13}$ e ${\displaystyle f'(x_{0})=10x_{0}}$. Así ${\displaystyle x_{0}=1}$ é unha solución de ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle v_{2}(f(1))=3}$ e ${\displaystyle v_{2}(f'(1))=1}$, por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a ${\displaystyle f({\overline {x_{0}}},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q_{2}} ^{3}}$.

• Repetimos o proceso para ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5},\mathbb {Q} _{7}{\text{ e }}\mathbb {Q} _{13}}$ procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0:
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$, ${\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=2,f(z_{0})=28-13z_{0}^{2}}$, que para ${\displaystyle z_{0}=1}$ ten diferenza ${\displaystyle 15=3\cdot 5}$ e por tanto valoración 1.
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}}$, ${\displaystyle x_{0}=2,y_{0}=0,f(z_{0})=20-13z_{0}^{2}}$, que para ${\displaystyle z_{0}=1}$ ten diferenza ${\displaystyle 7}$ e por tanto valoración 1.
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$, ${\displaystyle x_{0}=3,z_{0}=1,f(y_{0})=45+7y_{0}^{2}}$, que para ${\displaystyle y_{0}=1}$ ten suma ${\displaystyle 52=13\cdot 4}$ e por tanto valoración 1.

Por todo isto temos solución en todos os ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{3}}$ e ten solucións evidentes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ e por tanto existe solución en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico K até a equivalencia, a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa dimensión, que é un número enteiro positivo, e o seu discriminante módulo os cadrados en K, que é un elemento do grupo multiplicativo K^* / K^*2. Alén diso, para cada lugar v de K, hai unha invariante procedente do completamento de K _v. Dependendo da elección de v, este completamento poden ser os números reais R, os números complexos C, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

• Caso de R. Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
• Caso de C. Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
• Caso de Q _p e as súas extensións alxébricas . As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre K con estas invariantes.

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021. 
• Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001. 

• Principio local-global.