Dušan Kuciak w wieku szesnastu lat przeszedł z juniorskiego składu MŠK Žilina do ówczesnego pierwszoligowego zespołu z Trenčína. Po dwóch latach został sprowadzony do macierzystego klubu, gdzie grał jako junior. Miał zastąpić Jána Muchę (który jednak przedłużył kontrakt do 2005, po czym odszedł do Legii Warszawa). Niewiele grając w słowackim klubie, Kuciak został wypożyczony w 2005 do West Ham United. W angielskim zespole nie zagrał żadnego meczu, po czym został z powrotem przeniesiony do Żyliny. Wówczas został głównym bramkarzem drużyny, w której rozegrał 80 meczów.
FC Vaslui
26 czerwca 2008 FC Vaslui kupił Dušana Kuciaka za 800.000 €. W zespole zastąpił Cristiana Hăisana. Rozegrał w jego barwach 102 spotkania.
Legia Warszawa
1 sierpnia 2011 został zawodnikiem Legii Warszawa. W polskim zespole zadebiutował 25 sierpnia tegoż roku w wygranym 3:2 meczu kwalifikacji do Ligi Europy UEFA ze Spartakiem Moskwa. W Ekstraklasie debiutował 28 sierpnia 2011 w meczu z ŁKS-em Łódź (3:1)[1]. W debiutanckim sezonie 2011/2012, pozostał niepokonany przez 759. minut. Ten wyczyn jest drugim wynikiem w historii Legii (Władysław Grotyński zachował czyste konto przez 762. minuty) oraz czwartym w Ekstraklasie[2]. W drużynie Legii występował do końca 2015. Rozegrał 193 meczów w barwach warszawskiego zespołu (131 w Ekstraklasie, 13 w Pucharze Polski, 37 w Lidze Europy, 10 w eliminacjach do Ligi Mistrzów oraz 2 o Superpuchar Polski)[3].
Hull City
1 lutego 2016 na mocy transferu gotówkowego o wartości 250.000 funtów został zawodnikiem angielskiego klubu Hull City A.F.C.[4], z którym związał się półtorarocznym kontraktem[5]. 23 sierpnia 2016 zadebiutował w barwach angielskiej drużyny w meczu pucharu ligi angielskiej przeciwko Exeter City[6] i był to jego jedyny oficjalny mecz w barwach angielskiej drużyny. Pełnił przez dwie rundy rolę trzeciego bramkarza i po jednym sezonie angielski klub zdecydował o wystawieniu bramkarza na listę transferową[7].
30 października 2021 roku Dušan Kuciak wystąpił w meczu Lechii Gdańsk z Wartą Poznań, dzięki czemu został liderem klasyfikacji obcokrajowców z największą liczbą występów w Ekstraklasie[10].
