Na začetku se razlikuje med L-vrsto, predstavitvijo z neskončnimivrstami (na primer Dirichletova vrsta za Riemannovo funkcijo ζ) in L-funkcijo, funkcijo v kompleksni ravnini, ki je njeno analitično nadaljevanje. Splošne konstrukcije se začnejo z L-vrsto, ki je najprej definirana kot Dirichletova vrsta, nato pa z razvojem kot Eulerjev produkt indeksiranim s praštevili. Potrebne so ocene za dokaz, da vrsta konvergira v kakšni pravi polravnini kompleksnih števil. Potem se preuči ali se lahko tako definirana funkcija analitično nadaljuje na preostanek kompleksne ravnine s kakšnimi dodatnimi poli.
To je (domnevno) meromorfno nadaljevanje na kompleksno ravnino, ki se imenuje L-funkcija. V klasičnih primerih so uporabne informacije vsebovane v vrednostih in obnašaju L-funkcij v točkah, kjer predstavitev z vrsto ne konvergira. Splošni izraz L-funkcija vsebuje mnoge znane vrste funkcij ζ. Selbergov razred poskuša zaobjeti glavne značilnosti L-funkcij v nizu aksiomov, in tako vzpodbuja raziskovanje značilnosti razreda namesto posameznih funkcij.
Domnevne informacije
Lahko se poda seznam značilnosti znanih primerov L-funkcij, ki se jih želi posplošiti:
Iz podrobnega dela izhajajo mnoge domneve, na primer o eksaktni vrsti funkcijske enačbe, ki bi veljala. Ker je Riemannova funkcija ζ s svojimi vrednostmi za pozitivnasoda cela števila (in negativnaliha cela števila) povezana z Bernoullijevimi števili, se išče ustrezna posplošitev tega pojava. V takšnem primeru so se našli rezultati za p-adične L-funkcije, ki opisujejo določene Galoisove module.
Statistika porazdelitev ničel je zanimiva zaradi njene povezave s problemi, kot so posplošena Riemannova domneva, porazdelitev praštevil ipd. Zanimive so tudi povezave s teorijo slučajnih matrik in kvantnim kaosom. Fraktalno zgradbo porazdelitev so raziskovali s pomočjo analize reskaliranega obsega.[2]Samopodobnost porazdelitev ničel je pomembna in jo označuje velika fraktalna razsežnost 1,9. Ta precej velika fraktalna razsežnost je najdena prek ničel, ki pokrivajo vsaj petnajst stopenj velikost Riemannove funkcije ζ, in tudi za ničle drugih L-funkcij različnih stopenj in vodnikov.
Eden od vplivnih primerov tako za zgodovino bolj splošnih L-funkcij in kot še vedno odprti raziskovalni problem je domneva, ki sta jo razvila Bryan John Birch in Peter Swinnerton-Dyer v prvi polovici 1960-ih. Velja za eliptično krivuljo, in problem, ki ga poskuša rešiti, je napoved ranga eliptične krivulje nad racionalnimi števili (ali kakšnim drugim globalnim poljem): številom prostih generatorjev svoje grupe racionalnih točk. Veliko predhodnega dela na tem območju se združuje okrog boljšega razumevanja L-funkcij. To je včasih kot vzorčni primer porajajoče teorije L-funkcij.
Postopoma je postalo jasneje v kakšnem smislu se lahko skonstruirajo Hasse-Weilove funkcije ζ, da dajo veljavne L-funkcije v analitičnem smislu: mora biti določena količina vnosa iz analize, kar pomeni avtomorfne analize. Splošni primer sedaj združuje konceptualni nivo številnih različnih raziskovalnih programov.
