Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.
Опис
Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»
Формально: нехай
— вибірка з розподілу
, що залежить від параметра
. Нехай маємо функцію
, таку що
інтегрована відносно міри
, і
,
де
— бієкція. Тоді оцінка
![{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MM} }=f^{-1}\left({\overline {g(X)}}\right)\equiv f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}g(X_{i})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4af237b52efb676d7b90e8e5a2f2f1d4860ec93)
називається оцінкою параметра
методом моментів.
Зауваження
- Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.
- За побудовою,
, тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього
з вибірковим середнім.
.
- Оцінка
суттєво залежить від використаної функції
. Якщо можливе використання кількох різних функцій
, отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.
Конзистентність методу
Якщо
, тобто функція
неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.
Приклад
Нехай
— вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами
і
. Тоді
.
Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\bar {X}}=&{\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }{\hat {\beta }}_{\mathrm {MM} }\\{\overline {X^{2}}}=&{\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }({\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }+1)\left({\hat {\beta }}_{\mathrm {MM} }\right)^{2},\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa26585cd2db8b74055978eda3287a1216112d4e)
звідки
,
і
.
Див. також
Джерела