Характеристика Ейлера

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору $X$ зазвичай позначається $\chi (X)$ .

Визначення

Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума
$\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

где

k_{i}

означає число клітинок розмірности

i

.

Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті $b_{n}$ як знакозмінна сума:
$\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.

Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості

Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
- Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.

Ейлерова характеристика поліедрів

Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: $\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}$ де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:
$\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.$

Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду $S$ (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику $\chi (S)$ з кривиною Ґауса $K$ многовиду:

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

де $d\sigma$ — елемент площі поверхні $S$ .

Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на $2\pi$ .^[1]
Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхні

Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: $\chi (X)=2-2g$ , де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як $\chi (X)=2-g$ .

Величина характеристики Ейлера

Назва	Вид	Ейлерова характеристика
Відрізок		1
Коло		0
Круг		1
Сфера		2
Тор (добуток двох кіл)		0
Подвійний тор		−2
Потрійний тор		−4
Проективна поверхня		1
Стрічка Мебіуса		0
Пляшка Кляйна		0
Дві сфери (незв'язані)		2 + 2 = 4
Три сфери		2 + 2 + 2 = 6

Історія

У 1752 році Ейлер ^[2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

~S+H=A+2,

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році ^[3].

У 1899 році Анрі Пуанкаре ^[4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

\sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},

де $A_{i}$ — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

\sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Примітки

↑ ERGUN AKLEMAN, JIANER CHEN. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem (PDF). Texas A&M University. Процитовано 21 жовтня 2019.
↑
Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
- Переклад англійською мовою: Леонард ЕйлерProof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
↑ Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М., 1981. — С. 344.
↑ H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Література

Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).