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楊-米爾斯存在性與質量間隙

千禧年大獎難題

楊－米爾斯規範場論與質量間隙是理論物理中規範場論的一道基礎問題，必須在數學上嚴格證明楊－米爾斯場論存在（即需符合構造性量子場論的標準），亦要證明它們有質量間隙，即模型所預測的最輕單粒子態為正質量。2000年，克雷數學研究所懸賞各一百萬元的數學七大千禧年难题，其中一道題為楊－米爾斯規範場論同質量間隙。[1]

背景

楊振寧

在物理学中，楊-米爾斯理論是一种基于非阿贝尔群的量子规范理论[2]:508。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合[3]:82-83。在这一方向上，最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子電動力學，简称QED[2]:7，它提供了对电磁现象的量子描述，成为麦克斯韦理论的一个量子版本[4][5]，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来[6]:2。

1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了楊-米爾斯理論[7]，它是对QED的进一步推广[2]:481。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时，物理学家发现这一理论的「无质量性」成为症结所在[3]:88。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程[8]，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足「质量间隙」这一特征[3]:90，其官方表述为：对任意紧致、单的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙[6]:6。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生[6]:5。

这一问题的解决前景不甚乐观，爱德华·威滕也直言「（它）对现在而言实在是太难了[3]:92。」物理学家普遍相信质量间隙的存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明[9]。

杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲（英语：Arthur Jaffe）和爱德华·威滕写出[6]。

目前所知多數非凡（nontrivial）──即有相互作用──的4維量子場論皆为有截断能标（英语：cutoff (physics)）的有效場論。因多數模型的beta-函數是正的，似乎大多數這類模型皆有一支朗道极点，因完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場論[a]，它只可能為單純的自由場論。

然而，有不可交換結構群的楊-米爾斯理論（無夸克）例外。它有一種性質稱為漸近自由，指它有一單純（trivial）的紫外定點（英语：UV fixed point）。因此，可以寄望它成為非凡的構造性（constructive）四維量子場模型[b]。

不交換羣楊-米爾斯理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴謹性的證明，但未有符合數理物理嚴謹性的證明[c]。基本上，換言之，過了QCD尺度（或者這裡應稱為禁閉尺度，因為無夸克），那些色荷粒子被色動力學的「流管」連著，所以粒子間有線性勢（「弦」張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應，應見到零質量的膠子；但因它們被禁閉，只見到不帶色荷的膠子束綁態——膠波。凡膠波皆質量，所以期望質量間隙的存在。

格點規範場論（英语：lattice gauge theory）的結果令不少工作者相信，這個模型真的有禁閉現象（由Wilson圈的真空期望值的下降的「面積規律」(area law)看出），但這項結果還沒有符合數學的嚴慬性。

參見

注释

  1. ^ 必需，因它要滿足公理化量子場論的公理。
  2. ^ 而量子色動力學有費米夸克，當然較為複雜。
  3. ^ 讀者可閱讀相關文章：量子色動力學）、夸克禁閉，格点规范理论（英语：lattice gauge theory）。

参考文献

  1. ^ Jaffe A., Witten E. Quantum Yang Mills (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2021-01-21）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press. 2013 [2015-08-06]. ISBN 9781107034730. （原始内容存档于2016-05-27）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Streater, Raymond F.; Wightman, Arthur S. PCT, Spin and Statistics, and All That. Princeton: Princeton University Press http://dx.doi.org/10.1515/9781400884230. 2001-12-31. ISBN 978-1-4008-8423-0.  缺少或|title=为空 (帮助)
  4. ^ Toichiro Kinoshita; Donald R. Yennie. The Birth of Quantum Field Theory. Quantum Electrodynamics. Advanced series on directions in high energy physics. World Scientific. 1990: 1 [2015-08-06]. ISBN 9789810202149. （原始内容存档于2016-05-29）. 
  5. ^ Silvan S. Schweber. The Birth of Quantum Field Theory. QED and the Men who Made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton series in physics. Princeton University Press. 1994: 39 [2015-08-06]. ISBN 9780691033273. （原始内容存档于2016-07-23）. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Arthur Jaffe and Edward Witten. Quantum Yang–Mills Theory (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-07-30]. （原始内容 (PDF)存档于2015-03-30）. 
  7. ^ Yang, C. N.; Mills, R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review. 1954, 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 
  8. ^ Michael R. Douglas. Report on the Status of the Yang-Mills Millenium Prize Problem (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-04）. 
  9. ^ A.S. Wightman; G. Velo. Fundamental Problems of Gauge Field Theory. Nato Science Series B illustrated. Springer Science & Business Media. 2013-11-11: 224 [2015-08-08]. ISBN 9781475703634. （原始内容存档于2016-05-31）. 
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