在幾何學 中,正七邊形鑲嵌 (英語:Heptagonal tiling )是一種由正七邊形 拼合,並且將正七邊形重複排列組合,並讓圖形完全拼合,而且沒有空隙或重疊的幾何構造。
正七邊形鑲嵌是一種雙曲 正鑲嵌 ,由正七邊形組成,在施萊夫利符號 中以{7,3}來表示,因為每個頂點周圍都有3個正七邊形。
三個正七邊形由於超過360度,因此無法在平面作出,但若硬將正七邊形邊對邊接合,將會變成一個馬鞍形 ,且每個頂點 皆會落在一個雙曲拋物面 上。
正七邊形鑲嵌無法在一個平面 上構造,因為每個頂點 的角度
128
4
7
× × -->
3
=
385
6
7
{\displaystyle 128{\frac {4}{7}}\times 3=385{\frac {6}{7}}}
超過了360度,但可以在一個雙曲拋物面 上構造[ 1] ,因此正七邊形鑲嵌也是羅式幾何 或雙曲幾何 中討論的幾何構造。
一個正七邊形鑲嵌的紙模型 ,可以看到它不是一個平面,像是一個馬鞍面
圖像
一個正七邊形鑲嵌 (黑線)在龐加萊半平面模型 上
一個正七邊形鑲嵌 (藍線)在雙曲拋物面 的龐加萊圓盤模型 上
相關半正鑲嵌
正七邊形鑲嵌在拓扑上与一系列用施萊夫利符號{n,3}與{7,n}表示的(广义)多面体一直延伸到双曲镶嵌:
當n大於2時,所有{7,n}都是双曲镶嵌:
{7,3}
{7,4}
{7,5}
{7,6}
{7,7}
正七邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換 得到一系列与之相关的半正镶嵌,其與正七邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[7,3](*732)或[7,3]+ (732):
半正七邊形/三角形鑲嵌
對稱群:[7,3], (*732)
[7,3]+ , (732)
{7,3}
t{7,3}
r{7,3}
2t{7,3}=t{3,7}
2r{7,3}={3,7}
rr{7,3}
tr{7,3}
sr{7,3}
半正對偶
V73
V3.14.14
V3.7.3.7
V6.6.7
V37
V3.4.7.4
V4.6.14
V3.3.3.3.7
赫爾維茨曲面
產生這種鑲嵌的對稱群(2,3,7)根本域為(2,3,7)施瓦茨三角形 的三角群
七階三角形鑲嵌的對稱群 是(2,3,7)三角群,且其根本域為(2,3,7)施瓦茨三角形 。這是最小的雙曲 施瓦茨三角形 ,因此,由赫爾維茨的同構定理的證明,該鑲嵌完全密鋪整個赫爾維茨曲面 (黎曼曲面 與最大對稱群),給出一個三角對稱群等於其構群為黎曼曲面 。其中最小的赫爾維茨曲面是克萊因商(Klein quartic)虧格 3、168階、包含56個七邊形 鑲嵌在一起,形成24個頂點 。
其對偶七階三角形鑲嵌 具有相同的對稱群,因而產生三角形鑲嵌赫爾維曲面。
參見
參考文獻
^ Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer, Introduction to Hyperbolic Geometry , Springer; 1 edition (December 16, 1995)