Kuba spielte während seiner Juniorenzeit für den HC Vítkovice, bei dem er auch seine Profikarriere begann. Beim NHL Entry Draft 1995 wurde er von den Florida Panthers in der achten Runde an 192. Position ausgewählt.
1996 ging er nach Nordamerika und spielte dort anfangs in der American Hockey League. Sein erstes Jahr bei den Carolina Monarchs nutzte er, um sich an die nordamerikanische Spielweise zu gewöhnen. In der folgenden Saison für Beast of New Haven machte er auf sich aufmerksam, so dass er in der Saison 1998/99 zu seinen ersten fünf Einsätzen in der NHL bei den Panthers kam. Meist spielte er in dieser Saison für die Kentucky Thoroughblades in der AHL. Die folgende Spielzeit verbrachte er zum überwiegenden Teil bei den Houston Aeros in der International Hockey League und kam vereinzelt in der NHL zum Einsatz. Ein Wechsel zu den Calgary Flames hatte keine Auswirkung auf seine Karriere, da er kurz darauf im NHL Expansion Draft 2000 von den Minnesota Wild verpflichtet wurde. In Minnesota schaffte er den Schritt zum Stammspieler. Auch international war diese Zeit für ihn erfolgreich. Er nahm für sein Heimatland an den Weltmeisterschaften 2001 und 2002 teil. In der NHL wurde seine gute Leistung mit der Teilnahme am NHL All-Star Game 2004 honoriert.
Am 1. Juli 2012 unterschrieb er als Free Agent einen Zweijahresvertrag im Wert von acht Millionen US-Dollar bei den Florida Panthers.[1] Aufgrund des Lock-outs zu Beginn der Saison 2012/13 kehrte er zunächst zu seinem Heimatverein zurück. Mit Wiederaufnahme des Spielbetriebs in der NHL lief er wieder für die Panthers auf. Ein Jahr später kauften sich die Panther aus dem bestehenden Vertrag heraus, anschließend beendete Kuba seine Karriere.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)