Ułamek dziesiętny nieskończony

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej ${\displaystyle a}$ za pomocą szeregu liczbowego w postaci^[1]:

${\displaystyle a=\pm \left(a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\dots \right),}$

gdzie ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\dots }$ są liczbami naturalnymi, przy czym ${\displaystyle 0\leqslant a_{0}}$ oraz ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant 9}$ dla ${\displaystyle n=1,2,\dots }$

Symbol „${\displaystyle \pm }$” zastępuje się znakiem „${\displaystyle -}$”, gdy ${\displaystyle a}$ jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „${\displaystyle +}$”.

Zapis liczby dodatniej ${\displaystyle a}$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby ${\displaystyle a}$ i przedstawia się go jako^[2]:

${\displaystyle a_{0}\,,\,a_{1}a_{2}a_{3}\dots }$

Tutaj ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ są cyframi rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela część całkowitą (cechę) ${\displaystyle a_{0}}$ liczby ${\displaystyle a}$ od jej mantysy.

${\displaystyle 2{\frac {1}{7}}=2{,}142857142857142857142\ldots }$

${\displaystyle 1=1{,}0000\ldots =0{,}99999\ldots }$ (zobacz na temat liczby 0,99999...)

${\displaystyle -{\frac {3}{8}}=-0{,}3750000\ldots =-0{,}3749999\ldots }$

${\displaystyle {\sqrt {7}}=2{,}645751311\ldots }$

${\displaystyle \pi =3{,}141592653589793238462\ldots }$

${\displaystyle 1{\frac {41}{99}}=1{,}414141\ldots }$

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby ${\displaystyle x\neq 0,}$ poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby ${\displaystyle x}$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby ${\displaystyle x,}$ poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby ${\displaystyle x}$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne^[3].

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ dla danej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x.}$

Niech ${\displaystyle |z|}$ oznacza wartość bezwzględną, a ${\displaystyle [z]}$ część całkowitą liczby ${\displaystyle z.}$

1. ${\displaystyle b_{0}=|x|,\quad a_{0}=[b_{0}],}$
2. ${\displaystyle b_{i}=10\cdot (b_{i-1}-a_{i-1}),\quad a_{i}=[b_{i}]\quad {\mbox{dla }}i\geqslant 1.}$

liczba ${\displaystyle a_{0}}$ jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają ${\displaystyle 0\leqslant a_{i}\leqslant 9}$ i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby ${\displaystyle \pi }$ mamy:

1. ${\displaystyle b_{0}=\pi ,a_{0}=3,}$
2. ${\displaystyle b_{1}=1{,}41592653589793238462\dots ,a_{1}=1,}$
3. ${\displaystyle b_{2}=4{,}1592653589793238462\dots ,a_{2}=4}$

itd.

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby ${\displaystyle x}$ od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy ${\displaystyle x}$ jest liczbą wymierną ${\displaystyle x=p/q,}$ przy czym ${\displaystyle q=2^{k}\cdot 5^{l},}$ gdzie ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle l}$ są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(2⁴ · 5³).

${\displaystyle q=2^{k}\cdot 5^{l}}$ wynika z rozkładu na czynniki pierwsze podstawy systemu liczbowego ${\displaystyle 10=2\cdot 5.}$

Na przykład ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu ${\displaystyle 1/(2^{1}\cdot 5^{1})=1/10=0.1_{(10)}}$ w systemie dwójkowym ma dwójkowe rozwinięcie okresowe: ${\displaystyle 0.0001(0011)_{(2)}.}$ Natomiast dzisiętny ułamek ${\displaystyle 1/(2^{2}\cdot 5^{0})=1/4=0.25_{(10)}}$ w systemie dwójkowym ma skończone rozwinięcie dwójkowe: ${\displaystyle 0.01_{(2)}.}$

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym lub krótko ułamkiem okresowym^[4]. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:

13,54545454… – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok „54”,

2,907645645645… – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok „645”.

W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem

13,(54)

2,907(645)

natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia

13.54

2.907645

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:

2,71 = 2,7100000… – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok „0”.

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

Dana jest liczba u = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

1. oblicz 100u = 2361,709709… – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 100000u = 2361709,709709… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 100000u – 100u = 2361709,709709… – 2361,709709… = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 2359348/99900.

Kolejny przykład: u = 0,031313131…

1. oblicz 10u = 0,313131… – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 1000u = 31,313131… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 1000u – 10u = 31,313131… – 0,313131… = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 31/990.

Jeżeli ${\displaystyle g}$ jest liczbą naturalną i ${\displaystyle g>1,}$ to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą ${\displaystyle a}$ można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego^[5]:

${\displaystyle a=a_{0}+{\frac {a_{1}}{g}}+{\frac {a_{2}}{g^{2}}}+{\frac {a_{3}}{g^{3}}}+\dots }$

gdzie ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\dots }$ są liczbami naturalnymi oraz ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant g-1}$ dla ${\displaystyle n=1,2,\dots }$

Liczby ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie ${\displaystyle g.}$ Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby ${\displaystyle g,}$ na przykład: system dwójkowy albo binarny (o podstawie 2), ósemkowy albo oktalny (o podstawie 8), szesnastkowy albo heksadecymalny (o podstawie 16), dwudziestkowy (o podstawie 20), sześćdziesiątkowy (o podstawie 60) itp.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od ${\displaystyle g-1.}$ Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

• ułamek dziesiętny
• ułamek łańcuchowy

• Wacław Sierpiński: Działania nieskończone. Wyd. III. Warszawa: Czytelnik, 1948.

• Grigorij Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.

• Piotr Stachura, Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny, kanał Khan Academy na YouTube, 17 października 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Repeating Decimal, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Infinite decimal expansion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].