二階導數
二次函数 的二階導數是常數 。
微积分 中,函數
f
{\displaystyle f}
的二階導數 (英語:second derivative 或second order derivative )是其导数 的導數。粗略而言,某量的二階導數,描述該量的變化率本身是否變化得快。例如,物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度 ,即該物體的速度 隨時間的變化率。用萊布尼茲記法 :
a
=
d
v
d
t
=
d
2
x
d
t
2
,
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},}
其中
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
為加速度,
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
為速度,
t
{\displaystyle t}
為時間,
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
為位置,而
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
表示瞬時的差值(又稱「delta」值)。最後一式
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}
是位置
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
對時間的二階導數。
繪製函数图形 時,二階導數描述曲線的曲率 或凹凸性 。若函數的二階導數為正,則其圖像是向上彎,像隻杯(
∪ ∪ -->
{\displaystyle \cup }
)。反之,若其二階導數為負,則向下彎,像頂帽(
∩ ∩ -->
{\displaystyle \cap }
)。
二階導數的冪法則
連續兩次用一階導數的冪法則 ,則會推導出二階導數的冪法則,如下所示:
d
2
d
x
2
[
x
n
]
=
d
d
x
d
d
x
[
x
n
]
=
d
d
x
[
n
x
n
− − -->
1
]
=
n
d
d
x
[
x
n
− − -->
1
]
=
n
(
n
− − -->
1
)
x
n
− − -->
2
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}
公式對任意實數
n
{\displaystyle n}
成立。
記法
函數
f
{\displaystyle f}
的二階導函數常記為
f
″
{\displaystyle f''}
,其於
x
{\displaystyle x}
處取值為
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)}
。[ 1] [ 2] 換言之,
f
″
=
(
f
′
)
′
,
{\displaystyle f''=\left(f'\right)',}
其中
′
{\displaystyle '}
表示一階求導。若用萊布尼茲記法 表示導數,則因變數
y
{\displaystyle y}
關於自變數
x
{\displaystyle x}
的二階導數記為
d
2
y
d
x
2
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}
此種寫法的理由是,
d
d
x
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
表示對
x
{\displaystyle x}
求導,從而求導兩次應寫成:
d
d
x
(
d
y
d
x
)
=
d
2
y
d
x
2
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}
其他記法
如前段 所記,二階導數標準的萊布尼茲記法為
d
2
y
d
x
2
{\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}
。然而,無法視之為純代數符號作運算。意思是,雖然看似兩個微分相除組成的分數,但是無法拆分、抵銷等。[ 註 1] 不過,可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則 。[ 3] 倘若視
d
y
d
x
{\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}
為兩微分之商,則求導時,根據商法則應有:
y
″
(
x
)
=
(
d
y
d
x
)
′
=
(
d
y
)
′
⋅ ⋅ -->
d
x
− − -->
d
y
⋅ ⋅ -->
(
d
x
)
′
(
d
x
)
2
=
d
d
x
(
d
y
)
⋅ ⋅ -->
d
x
− − -->
d
y
⋅ ⋅ -->
d
d
x
d
x
(
d
x
)
2
=
d
2
y
d
x
2
− − -->
d
y
d
x
d
2
x
d
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}}
上式中,
y
″
(
x
)
{\displaystyle y''(x)}
為二階導數,但
d
2
y
d
x
2
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}
則不然。
d
u
{\displaystyle \mathrm {d} u}
表示微分算子施用於
u
{\displaystyle u}
的結果,即
d
(
u
)
{\displaystyle \mathrm {d} (u)}
,而
d
2
u
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u}
表示微分算子疊代兩次的結果,即
d
(
d
(
u
)
)
{\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))}
。最後
d
u
2
{\displaystyle \mathrm {d} u^{2}}
是先微分再平方,即
(
d
(
u
)
)
2
{\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}
。
若採此寫法(並依上段解讀各符號含義),則二階導數各項可以自由操作,與其他代數項作運算。例如,二階導數的反函數 公式,可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则 亦然。不過,運算上的方便,與更換符號的不便,孰輕孰重,仍待定論。[ 4]
例
考慮
f
(
x
)
=
x
3
,
{\displaystyle f(x)=x^{3},}
運用冪法則,
f
{\displaystyle f}
的導數
f
′
{\displaystyle f'}
由下式給出:
f
′ ′ -->
(
x
)
=
3
x
2
.
{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}
f
{\displaystyle f}
的二階導數即是對導數
f
′
{\displaystyle f'}
再次求導的結果,由下式給出:
f
′ ′ -->
′ ′ -->
(
x
)
=
6
x
.
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}
另一個例子,考慮正弦函數
sin
{\displaystyle \sin }
。有
sin
′
-->
(
x
)
=
cos
-->
(
x
)
,
{\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),}
而再次求導後,得到
sin
″
-->
(
x
)
=
cos
′
-->
(
x
)
=
− − -->
sin
-->
(
x
)
.
{\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).}
換言之,正弦函數的二階導數是自身的相反數。
與圖像的關係
f
(
x
)
=
sin
-->
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(2x)}
的圖像,其中
x
{\displaystyle x}
的取值範圍是由
− − -->
π π -->
/
4
{\displaystyle -\pi /4}
至
5
π π -->
/
4
{\displaystyle 5\pi /4}
。當曲線向上彎時,切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點(即
0
,
π π -->
/
2
,
π π -->
{\displaystyle 0,\ \pi /2,\ \pi }
)處則為紅。
凹向
函數
f
{\displaystyle f}
的二階導數,描述其圖像凹的方向和程度,即凹性 (concavity )。[ 2] 若二階導數在某區間恆正,則函數在該區間向上凹 (向上彎,又稱為凸函數或下凸函數),意即其切线 總位於圖像下方「承托」。反之,若二階導數在某區間恆負,則函數在該區間向下凹 (向下彎,又稱為凹函數或上凸函數),其切線總位於圖像的上方「壓制」着。
拐點
若函數的二階導數在某點的左右異號,則圖像由向上彎轉變成向下彎,或反之。此種點稱為拐點 (inflection point )。假設二階導數連續 ,則在該點處必取零值,故可用「二階導數為零」之條件,篩選出可能的拐點。不過,二階導數為零的點不一定是拐點,如
f
(
x
)
=
x
4
{\displaystyle f(x)=x^{4}}
有
f
″
(
0
)
=
0
{\displaystyle f''(0)=0}
,但
f
{\displaystyle f}
在實數系上為凸,無拐點。
二階導數檢驗
二階導數與凹凸性的關係,有助判斷函數
f
{\displaystyle f}
的驻点 (即滿足
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
的點
x
{\displaystyle x}
)是否為局部極大點 或極小點 。具體言之:
若
f
′ ′ -->
′ ′ -->
(
x
)
<
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}
,則
f
{\displaystyle f}
於
x
{\displaystyle x}
點取得局部極大值。
若
f
′ ′ -->
′ ′ -->
(
x
)
>
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}
,則
f
{\displaystyle f}
於
x
{\displaystyle x}
點取得局部極小值。
若
f
′ ′ -->
′ ′ -->
(
x
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}
,則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點,也可能是極大或極小點。
直觀理解,考慮一架賽車高速前進,但正在減速(加速度為負),則當速度降至零的一刻,賽車所在位置即為自起點出發,能達到的前方最遠處,因為此後速度降至負值,賽車會倒車。同樣,若考慮高速後退但加速度為正的賽車,則相應得到關於極小值的結論。
極限
二階導數若存在,則可以衹用一個极限 寫出:
f
″
(
x
)
=
lim
h
→ → -->
0
f
(
x
+
h
)
− − -->
2
f
(
x
)
+
f
(
x
− − -->
h
)
h
2
.
{\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}
以上極限稱為二階對稱導數 。[ 5] [ 6] 但是,有時二階對稱導數存在,則函數仍沒有(平常的)二階導數。
右側欲求極限的分式,可理解成差商 的差商:
f
(
x
+
h
)
− − -->
2
f
(
x
)
+
f
(
x
− − -->
h
)
h
2
=
f
(
x
+
h
)
− − -->
f
(
x
)
h
− − -->
f
(
x
)
− − -->
f
(
x
− − -->
h
)
h
h
.
{\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}
故其極限可視作序列 二階差分 的連續版本。
然而,上述極限存在並不推出函數
f
{\displaystyle f}
二階可導。該極限僅是二階導數存在時,計算該導數的一種方法,但並非其定義。反例有符号函数
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
,其定義為:
sgn
-->
(
x
)
=
{
− − -->
1
,
若
x
<
0
,
0
,
若
x
=
0
,
1
,
若
x
>
0.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}}
符號函數在原點不連續,從而不可導,尤其並非二階可導。但是,在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
處,二階對稱導數存在:
lim
h
→ → -->
0
sgn
-->
(
0
+
h
)
− − -->
2
sgn
-->
(
0
)
+
sgn
-->
(
0
− − -->
h
)
h
2
=
lim
h
→ → -->
0
sgn
-->
(
h
)
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
0
+
sgn
-->
(
− − -->
h
)
h
2
=
lim
h
→ → -->
0
sgn
-->
(
h
)
+
(
− − -->
sgn
-->
(
h
)
)
h
2
=
lim
h
→ → -->
0
0
h
2
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}
二次近似
正如導數與线性近似 密切相關,二階導數也與二次近似 如影随形。某函數
f
{\displaystyle f}
於某點的二次近似,是一個二次函数 ,與
f
{\displaystyle f}
在該點處具有一樣的一、二階導數。函數
f
{\displaystyle f}
於
a
{\displaystyle a}
附近的二次近似可寫成:
f
(
x
)
≈ ≈ -->
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
− − -->
a
)
+
1
2
f
″
(
a
)
(
x
− − -->
a
)
2
.
{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}
函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式 。
本徵值與本徵函數
因為求導運算為線性 ,所以求導兩次亦可視為函數空間 上的線性算子 ,從而可以研究其譜 。換言之,可求微分方程
v
″
=
λ λ -->
v
{\displaystyle v''=\lambda v}
的函數解
v
{\displaystyle v}
(本徵向量 )與常數
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
(本徵值 )。對於許多種邊界條件 ,可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量 。
舉例,以閉區間
[
0
,
L
]
{\displaystyle [0,L]}
為定義域,邊界採用齊次狄利克雷条件 (即
v
(
0
)
=
v
(
L
)
=
0
{\displaystyle v(0)=v(L)=0}
),則諸本徵值 為
λ λ -->
j
=
− − -->
j
2
π π -->
2
L
2
{\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}
,對應本徵向量 (亦稱本徵函數 )
v
j
{\displaystyle v_{j}}
由
v
j
(
x
)
=
2
L
sin
-->
(
j
π π -->
x
L
)
{\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}
給出。此處
v
j
″
(
x
)
=
λ λ -->
j
v
j
(
x
)
{\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}
,
j
{\displaystyle j}
為任意正整數。
其他情況的解,見二階導數的本徵值與本徵向量 。
高維推廣
黑塞方陣
二階導數的高維推廣,其一是同時考慮全體二階偏导数
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
i
∂ ∂ -->
x
j
{\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}
。對於三元函數
f
:
R
3
→ → -->
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
,二階偏導數包括
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
2
,
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
2
,
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
z
2
,
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}
以及混合偏導數
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
∂ ∂ -->
z
,
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
∂ ∂ -->
z
.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}
還有其他次序的混合偏導數,如
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
∂ ∂ -->
x
{\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}
,但由二階導數的對稱性 ,衹要
f
{\displaystyle f}
滿足特定條件(如二階偏導數處處連續),則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是,各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣 ,稱為黑塞方陣 (英語:Hessian 或Hessian matrix )。該方陣的本徵值 適用於多變量情況的二階導數檢驗(稱為二階偏導數檢驗 )。
拉普拉斯算子
另一種常見推廣,則是衹考慮對同一個變量的二階導數,再求和,得到拉普拉斯算子 (Laplace operator 或Laplacian )。拉氏微分算子記作
∇ ∇ -->
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
或
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta }
。以三維情形為例,定義為
∇ ∇ -->
2
f
=
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
f
∂ ∂ -->
z
2
.
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
函數的拉氏算子等於梯度 的散度 ,亦是前述黑塞方陣之跡 。
參見
註
參考文獻
延伸閱讀
紙本
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