六階六邊形鑲嵌
在幾何學 中,六階六邊形鑲嵌 是由六邊形 組成的雙曲面 正鑲嵌圖 ,在施萊夫利符號 中用{6,6}表示。[ 1] 六階六邊形鑲嵌即每個頂點 皆為六個六邊形 的公共頂點,頂點周圍包含了六個不重疊的六邊形,一個六邊形內角120度 ,六個六邊形超過了360度,因此無法因此無法在平面作出,但可以在雙曲面上作出,同時,此鑲嵌圖是雙曲空間的緊鑲嵌,即每一個區域都是緊空間 。[ 2]
性質
六階六邊形鑲嵌是一種全部的面皆由正六邊形 組成的正鑲嵌圖。六階六邊形鑲嵌中六階表示每個頂點 都是六階頂點,分支度 為六,這代表著每個頂點都是6個六邊形的公共頂點。[ 3]
標準化高斯曲率
在平面幾何 中,正六邊形 的內角為120度 ,而這種幾何結構每個頂點都是6個不重疊的正六邊形 ,其角的總和超過了360度因此無法在歐幾里得平面 上建構此種幾何結構。而在雙曲幾何中,這樣的六邊形不被視為內角為120度的六邊形,而是內角為60度的正六邊形 。在球面幾何 和雙曲幾何 中,長度尺度都可以利用具有固定角度的等邊三角形 邊長來定義。[ 4] 以雙曲幾何為例,長度一般以絕對長度(一種特殊的長度單位,類似於球面幾何中的距離之間的關係)來定義[ 5] ,在這個定義下,六階六邊形鑲嵌中的每個六邊形可以再分成6個正三角形 ,每個正三角形的內角為30度[ 註 1] ,因此對應的內角和為90度,角虧為90度。
外接球半徑
就像球面幾何 一樣,雙曲幾何也具有不為零的均勻曲率。因此也能夠為雙曲鑲嵌圖定義外接球 半徑,這個半徑是一個純虛數 值,代表一個雙曲超球體。[ 2] 因此六階六邊形鑲嵌的外接球是一個雙曲超球體,對應的半徑可以用一個複數來代表雙曲平面的變換,其值為負八平方根的倒數 :[ 3]
1
− − -->
8
=
− − -->
0.35355339059327
i
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-{8}}}}=-0.35355339059327i}
對稱性
這個鑲嵌代表一個由六條鏡射線定義一個正六邊形基本域的萬花筒 。這由六個三階交叉反射性在軌型符號 中可以表示為(*333333)。在考斯特表示法可表示為[6* ,6],從三個的鏡射線當中移除兩條穿過六邊形中心的鏡射線。這個萬花筒 的奇數/偶數基本域可被視為是交替塗色的六階六邊形鑲嵌。特別地,這樣的幾何結構可以用 來表示鑲嵌。[ 6]
相關多面體與鑲嵌
六角六片三角孔扭歪無限面體
六角六片三角孔扭歪無限面體與其對偶多面體的複合體
六階六邊形鑲嵌的結構可以轉變成一種扭歪無限面體 。這種扭歪無限面體同樣是每個頂點都是6個正六邊形的公共頂點,且能夠存於歐幾里得空間中。然而這樣的幾何結構中含有正三角形的孔洞。其面的布局正好是過截角交錯立方體堆砌 的子集。[ 3]
六階六邊形鑲嵌本身具備自身對偶的特性,其扭歪無限面體 對應拓樸結構也具備自身對偶的特性,也就是說,六角六片三角孔扭歪無限面體 的對偶多面體也是六角六片三角孔扭歪無限面體。[ 3]
雙曲鑲嵌
該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點有著六個面的多面體及鑲嵌相關,施萊夫利符號皆為{n,6},而考斯特符號為 ,n從2到無窮。更一般地,這種立體也可以對應到 系列的一部分。[ 3]
由於{n,6}在n=6的例子上為自身對偶,因此其對應的對偶多面體群在拓樸學上和也可以視為是頂點圖為(6n )的一系列的鑲嵌的一部份。更一般地,{n,6}與{6,n}群在n=6時都可以對應到 系列的一部分。[ 3]
退化
球面
欧氏
双曲镶嵌
...
{0,0}
{1,1}
{2,2}
{3,3}
{4,4}
{5,5}
{6,6}
{7,7}
{8,8}
...
{∞,∞}
六階六邊形相關鑲嵌
對稱性:[6,6], (*662)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
{6,6}
= h{4,6}
t{6,6}
= h2 {4,6}
r{6,6}
{6,4}
t{6,6}
= h2 {4,6}
{6,6}
= h{4,6}
rr{6,6}
r{6,4}
tr{6,6}
t{6,4}
對偶
V66
V6.12.12
V6.6.6.6
V6.12.12
V66
V4.6.4.6
V4.12.12
交錯
[1+ ,6,6]
(*663)
[6+ ,6]
(6*3)
[6,1+ ,6]
(*3232)
[6,6+ ]
(6*3)
[6,6,1+ ]
(*663)
[(6,6,2+ )]
(2*33)
[6,6]+
(662)
=
=
=
h{6,6}
s{6,6}
hr{6,6}
s{6,6}
h{6,6}
hrr{6,6}
sr{6,6}
交錯對偶
V(3.6)6
V3.3.3.6.3.6
V(3.4)4
V3.3.3.6.3.6
V(3.6)6
V(3.4.4)2
V3.3.6.3.6
此外,六階六邊形鑲嵌可以作為一些四維幾何結構的胞,例如三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體 (又稱三階的六階六邊形鑲嵌堆砌)是一種由六階六邊形鑲嵌構成的幾何結構,三階則代表每條稜為3個六階六邊形鑲嵌的公共稜,其組成方式與立方體組成立方體堆砌的方式類似。然而三階的六階六邊形鑲嵌蜂巢體屬於非緊空間幾何結構,因此其除了可以透過雙曲龐加萊球體來視覺化外,也可以從無窮遠處的理想曲面(Ideal surface)來視覺化。[ 7]
參見
註釋
^ 正六邊形分割成6個正三角形時,每個內角對應的頂點為2個正三角形的公共頂點。
參考資料
^ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .
^ 2.0 2.1 Klitzing, Richard. Hyperbolic Tesselations . bendwavy.org. [2021-09-05 ] . (原始内容存档 于2021-08-09).
^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Richard Klitzing. hyperbolic order 6 hexagonal tiling : hihexat . 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2021-09-05 ] . (原始内容存档 于2021-08-09).
^ Sommerville, D.M.Y. The elements of non-Euclidean geometry Unabr. and unaltered republ. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2005: 58 . ISBN 0-486-44222-5 .
^ Needham, Tristan. Visual Complex Analysis . Oxford University Press. 1998: 270 [2021-09-10 ] . ISBN 9780198534464 . (原始内容存档 于2021-08-24).
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
^ Nelson, Roice and Segerman, Henry. Visualizing hyperbolic honeycombs . Journal of Mathematics and the Arts (Taylor & Francis). 2017, 11 (1): 4––39 [2021-10-08 ] . (原始内容 存档于2020-11-30).
外部連結