Der auf einer Farm geborene Albert Camp besuchte die öffentlichen Schulen seiner Heimat. Nach einem anschließenden Jurastudium an der University of Georgia in Athens und seiner im Jahr 1915 erfolgten Zulassung als Rechtsanwalt begann er in Newnan in seinem neuen Beruf zu arbeiten. Während des Ersten Weltkrieges war er zwischen 1917 und 1919 Soldat der US Army. Dabei war er in Europa im Stab eines Divisionshauptquartiers eingesetzt.
Nach dem Tod des Abgeordneten Emmett Marshall Owen wurde Camp bei der fälligen Nachwahl für den vierten Sitz von Georgia als dessen Nachfolger in das US-Repräsentantenhaus in Washington, D.C. gewählt, wo er am 1. August 1939 sein neues Mandat antrat. Nach sieben Wiederwahlen konnte er bis zu seinem Tod am 24. Juli 1954 im Kongress verbleiben. Dort wurden zunächst noch weitere New-Deal-Gesetze der Bundesregierung verabschiedet. Seit Dezember 1941 wurde auch die Arbeit des Kongresses durch die Ereignisse des Zweiten Weltkrieges und dessen Folgen bestimmt. Camp wurde im Kongress Zeitzeuge der Gründung der UNO, des Beginns des Kalten Krieges und des Koreakrieges. Im Jahr 1951 wurde der 22. Verfassungszusatz im Kongress verabschiedet.