Anello degli endomorfismi

In matematica, gli endomorfismi di un gruppo abeliano G formano un anello. Questa struttura algebrica viene detta anello degli endomorfismi (abbr: ER) di G, con la notazione (End(G), ∘, + ); dove End(G) è l'insieme degli omomorfismi biunivochi di G in sè ed ha struttura di monoide con notazione (End(G), ∘ , id ). L'addizione di endomorfismi si effettua in modo punto-punto e la moltiplicazione tramite composizione di endomorfismi. Utilizzando queste operazioni, l'insieme degli endomorfismi di un gruppo abeliano forma un anello unitario, con l'endomorfismo zero ${\textstyle 0_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro additivo e la funzione identità ${\textstyle \operatorname {id} =1_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro moltiplicativo.^[1]^[2]

Le funzioni coinvolte sono limitate a ciò che nel contesto viene definito omomorfismo, cioè dipende dalla categoria dell'oggetto in esame. L'anello degli endomorfismi di conseguenza indica diverse proprietà interne dell'oggetto. Spesso l'oggetto risultante è un'algebra su qualche anello R, questa può anche essere chiamata algebra dell'endomorfismo.

Un gruppo abeliano è isomorfo alla struttura algebrica di un modulo sull'anello degli interi ℤ, che è l'oggetto iniziale nella categoria degli anelli. In modo simile, se R è un anello commutativo, allora è isomorfa (stessi assiomi e derivazione) agli endomorfismi di un R-modulo e formano un'algebra su R. In particolare, se R è un campo, i suoi moduli M sono gli spazi vettorial e l'anello degli endmorfismi di ogni modulo è un'algebra su campo R.

Definizione

Sia (G, +) un gruppo abeliano con operazione + e consideriamo l'insieme degli omomorfismi da G a G. Cioè

\operatorname {End} (G)=\{\varphi :G\rightarrow G\ |\ \varphi (x\circ y)=\varphi (x)\circ \varphi (y),\quad \forall x,y\in G\}

tale insieme con l'operazione binaria di composizione ha struttura algebrica di monoide, cioè un semigruppo con identità:

operazione interna

{\begin{aligned}\varrho \circ \varphi :G&\longrightarrow G\ \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)\\g&\longmapsto \varphi \left(\varrho (g)\right)\\\end{aligned}}

associativa

(\varrho \circ \varphi )\circ \varsigma =\varrho \circ (\varphi \circ \varsigma )\qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)

endomorfismo neutro rispetto ∘ o identità

{\begin{aligned}\operatorname {id} ={\operatorname {1} }_{\operatorname {End} (G)}\ :G&\longrightarrow G\ \\g&\longmapsto g\\\end{aligned}}

che si denota con $\left(\operatorname {End} (G),\ \circ ,\ \operatorname {id} \right)$ . Un endomorfismo invertibile viene detto automorfismo. Quindi $\operatorname {Aut} (G)\ \subseteq \ \operatorname {End} (G).$ Essendo G abeliano, definiamo una seconda operazione detta addizione di due di questi omomorfismi puntualmente per produrre un altro omomorfismo di gruppo. Esplicitamente:

operazione interna

{\begin{aligned}\varrho \ +\varphi \ :G&\longrightarrow G\ \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)\\g&\longmapsto (\varrho \ +\ \varphi )(g)=\varrho (g)+\ \varphi (g)\\g&\longmapsto (g)(\varrho \ +\ \varphi )=(g)\varrho +\ (g)\varphi \\\end{aligned}}

dove abbiamo utilizzato le due notazioni possibili. Anche se sembra più naturale, generalmente scrivere le nostre funzioni con la notazione destra nelle situazioni in cui l'operazione ha maggiore importanza.

associativa

(\varrho +\varphi )+\varsigma =\varrho +(\varphi +\varsigma )\qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)

commutativa

\varrho +\varphi =\varphi +\varrho \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)

endomorfismo neutro rispetto +

{\begin{aligned}{\operatorname {0} }_{\operatorname {End} (G)}\ :G&\longrightarrow G\ \\g&\longmapsto e_{G}\\\end{aligned}}

endomorfismo opposto

\exists '\quad \varphi ^{-1}\ :G\longrightarrow G\ \qquad \varphi ^{-1}+\varphi =\varphi +\varphi ^{-1}={\operatorname {0} }_{\operatorname {End} (G)}

Sotto questa operazione End(G) ha struttura algebrica di gruppo abeliano. Insieme all'operazione di composizione, End(A) ha la struttura algebrica di anello con elemento neutro nella composizione o anello unitario di endomorfismi in G. Cioè gli assiomi:

Gruppo abeliano ${\left(\operatorname {End} (G),+\right)}_{A}$
Monoide $\left(\operatorname {End} (G),\ \circ ,\ \operatorname {id} \right)$
Distributività destra e sinistra

{\begin{aligned}\varphi \circ (\varrho +\varsigma )&=\varphi \circ \varrho +\varphi \circ \varsigma \qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)\\(\varrho +\varsigma )\circ \varphi &=\varrho \circ \varphi +\varsigma \circ \varphi \\\end{aligned}}

Se l'insieme G non è un gruppo abeliano, allora la costruzione di cui sopra non è necessariamente additiva, cioè la somma di due omomorfismi non necessariamente è un omomorfismo.^[3] Questo insieme di endomorfismi è un esempio canonico di un quasi-anello che non è un anello.

Proprietà

Gli anelli di endomorfismi hanno sempre l'elemento neutro per le due operazioni di addizione e moltiplicazione, rispettivamente sono la trasformazione zero e quella di identità, in notazione:
${\begin{aligned}0_{\operatorname {End} (G)}&:x\mapsto 0_{G}\\1_{\operatorname {End} (G)}&:x\mapsto x\\\end{aligned}}$

dove $0_{G}$ è l'elemento neutro del gruppo $\left(G,\ +\right)$ .
Sono associativi, ma di solito non-commutativi.
Se un modulo è semplice, allora il suo ER viene detto anello di divisione (anche detto lemma di Schur).^[4]
Un modulo è incomponibile se e solo se il suo ER non contiene elementi idempotenti non banali.^[5] Se il modulo è iniettivo, allora l'essere incomponibile equivale a dire che l'ER è un anello locale.^[6]
Per un modulo semisemplice, l'ER è un anello regolare di von Neumann.
L'ER di un modulo uniseriale destro non nullo ha uno o due ideali destri massimi. Se il modulo è Artiniano, Noetheriano, proiettivo o iniettivo, allora l'ER ha un unico ideale massimale, quindi è un anello locale.
L'ER di un modulo uniforme Artiniano è un anello locale.^[7]
L'ER di un modulo con lunghezza di composizione finita è un anello semiprimario.
L'ER di un modulo continuo o discreto è un anello pulito.^[8]
Se un R modulo è generato finitamente e proiettivo (cioè un progeneratore), allora l'ER del modulo ed R hanno tutti proprietà d'invarianza di Morita. Un risultato importante della teoria di Morita è che tutti gli anelli equivalenti a R nascono come anelli di endomorfismo dei progeneratori.

Esempi

Nella categoria degli R-moduli, l'ER di un R-modulo M utilizzerà solo l'R-Omomorfismo di moduli, che sono tipicamente un sottoinsieme proprio degli omomorfismi del gruppo abeliano.^{[postille 1]}Se M è un modulo proiettivo con generatori finiti, l'ER è centrale quando si considera l'equivalenza di Morita nella categoria dei moduli.

Se $A$ è un gruppo abeliano, si ha un isomorfismo del tipo
$\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})$

poiché qualsiasi matrice in $\mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))$ conserva una struttura di omomorfismo naturale di $A^{n}$ come segue:
${\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.$

È possibile utilizzare questo isomorfismo per costruire ER non commutativi. Per esempio:

\operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )

, essendovi

\operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}

.

Inoltre, quando R è un campo (

R=K

), esiste un isomorfismo canonico

\operatorname {End} (K)\cong K

, tale che

\operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)

, cioè, l'ER di un

K

-spazio vettoriale coincide con l'anello delle matrici n * n i cui elementi stanno in

K

.^[9] Più in generale, l'algebra dell'endomorfismo del modulo libero

M=R^{n}

coincide in modo naturale con le matrici

n

*

n

i cui elementi stanno nell'anello

R

.

Come esempio particolare dell'ultimo punto, per qualsiasi anello R con unità, si considera End(R_R) = R, dove gli elementi di R agiscono su R tramite moltiplicazione sinistra.

In genere, l'ER può essere definito per gli oggetti di qualsiasi categoria pre-additiva.

Note

^ Fraleigh, 1976, p. 211
^ Passman, 1991, pp. 4–5
^ Dummit-Foote, 2003, p. 347
^ Jacobson, 2009, p. 118
^ Jacobson, 2009, p. 111, Prop. 3.1
^ Wisbauer, 1991, p. 163
^ Wisbauer, 1991, p. 263
^ Camillo-Khurana-Lam-Nicholson, 2006
^ Drozd-Kirichenko, 1994, pp. 23–31

Postille

^ I gruppi abeliani possono anche essere visti come moduli sull'anello degli interi.

Bibliografia

(EN) John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 2ª ed., Reading, Berkshire, UK, Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1.
(EN) Donald S. Passman, A Course in Ring Theory, Pacific Grove, Wadsworth & Brooks/Cole, 1991, ISBN 0-534-13776-8.
(EN) Dummit, D.S., Foote, R.M., Abstract Algebra, Wiley, 2003, ISBN 9780471433347.
(EN) L.V. Kuz'min, Endomorphism ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) Jacobson Nathan, Basic algebra, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47187-7.
(EN) Wisbauer Robert, Foundations of module and ring theory, in Algebra, Logic and Applications - III, (Riveduta e tradotta dal tedesco nel 1988.), Philadelphia, PA, Gordon and Breach Science Publishers, 1991, pp. xii+606, ISBN 2-88124-805-5.
(EN) Camillo V. P.; Khurana D.; Lam T. Y.; Nicholson W. K.; Zhou Y., Continuous modules are clean, in J. Algebra, vol. 304, n. 1, 2006, pp. 94-111, DOI:10.1016/j.jalgebra.2006.06.032.
(EN) Yu. A. Drozd; V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Berlino, DE, Springer-Verlag, 1994, ISBN isbn=3-540-53380-X.