Polinomio simmetrico

In algebra, un polinomio in più variabili si dice simmetrico se risulta invariante rispetto a tutte le permutazioni dell'ordine delle variabili, cioè se

P(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=P(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},\ldots ,X_{\sigma (n)})

per ogni possibile permutazione $\sigma$ .

Polinomi simmetrici si incontrano nello studio delle relazioni tra le radici di un polinomio in una variabile e i suoi coefficienti. Un teorema cosiddetto "fondamentale" afferma che ogni polinomio simmetrico si può esprimere come funzione polinomiale di un certo numero di polinomi simmetrici "di base", detti polinomi simmetrici elementari.

Esempi

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$
$4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}$
$X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}$

Un esempio leggermente più artificioso è

$\left(\prod _{i=1}^{n-1}\prod _{j=i+1}^{n}(X_{i}-X_{j})\right)^{2}$

Questo polinomio è simmetrico grazie all'elevamento al quadrato finale, altrimenti cambierebbe di segno ad ogni scambio tra due variabili.

Al contrario, il polinomio

$X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}$

è invariante solo per permutazioni cicliche, quindi non è simmetrico.

Relazioni con le radici di un polinomio

Se $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sono le radici del polinomio $P(X)$ , dall'uguaglianza

X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}=(X-x_{1})\cdots (X-x_{n})

possiamo ricavare delle formule che esprimono i coefficienti $a_{i}$ in termini delle radici mediante polinomi simmetrici.

Polinomi simmetrici elementari

Per ogni grado $n$ esistono dei particolari polinomi simmetrici, detti polinomi simmetrici elementari. Il polinomio simmetrico elementare di grado $k$ , detto $e_{k}$ , è dato da tutte le somme dei prodotti di $k$ variabili distinte (prese con gli indici ordinati in senso crescente per evitare ripetizioni). Ad esempio per $n=3$ avremo:

{\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},X_{3})&=1,\\e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}\\\end{aligned}}

e in generale

{\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\vdots \\e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\\\end{aligned}}

Teorema fondamentale per i polinomi simmetrici

Denotiamo con $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}$ l'anello dei polinomi simmetrici a coefficienti nell'anello $A$ . Il teorema afferma che ogni polinomio $P\in A[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}$ ammette un'unica rappresentazione

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q(e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}))

per qualche polinomio $Q$ nello stesso numero di variabili. Questo vuol dire che ogni polinomio simmetrico è esprimibile come somme e prodotti dei polinomi simmetrici elementari.

Come conseguenza, si può dedurre che quanto detto riguardante le radici e i coefficienti dei polinomi di una variabile si può invertire: ogni espressione polinomiale simmetrica nelle radici corrisponde ad una (unica) espressione polinomiale nei coefficienti.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Symmetric Polynomial, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Symmetric polynomial, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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