Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G.
Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se
ha un solo elemento).
Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G.
Proprietà dei sottogruppi
Nel seguito, sia
un gruppo rispetto all'operazione
, e sia
l'inverso di
.
Definizioni alternative
H è un sottogruppo di G se e solo se è non-vuoto, ed è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso. In altre parole:
- per ogni a e b in H, il loro prodotto
è ancora in H;
- per ogni a in H l'inverso
è ancora in H.
Alternativamente, possiamo chiedere che:
- per ogni a e b in H il prodotto
è ancora in H.
Se H è finito, è un sottogruppo se e solo se è non vuoto, e chiuso rispetto al prodotto.
Intersezione e generatori
L'intersezione di due sottogruppi H e H' è ancora un sottogruppo di G. Invece l'unione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi contiene l'altro.
Se S è un sottoinsieme di G, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono S, che viene indicato con <S> e chiamato il sottogruppo generato da S. Un elemento di G è in <S> se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di S o dei loro inversi.
Ogni elemento a genera quindi un sottogruppo ciclico <a>. Se <a> è isomorfo a Z/nZ per qualche intero positivo n, allora n è il più piccolo naturale per cui an = e, e n è l'ordine di a. Se <a> è isomorfo a Z, allora a ha ordine infinito.
I sottogruppi formano un reticolo completo con l'inclusione.
Proprietà preservate
Esempi
Sia G il gruppo abeliano i cui elementi sono
- G={0,2,4,6,1,3,5,7}
e la cui operazione è l'addizione modulo 8, riassunta nella tavola di composizione seguente.
+
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0
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2
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4
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6
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1
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3
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5
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7
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0
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0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7
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2
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2 |
4 |
6 |
0 |
3 |
5 |
7 |
1
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4
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4 |
6 |
0 |
2 |
5 |
7 |
1 |
3
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6
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6 |
0 |
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5
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1
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1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
0
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3
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3 |
5 |
7 |
1 |
4 |
6 |
0 |
2
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5
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5 |
7 |
1 |
3 |
6 |
0 |
2 |
4
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7
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7 |
1 |
3 |
5 |
0 |
2 |
4 |
6
|
Questo gruppo ha due sottogruppi non banali: J={0,4} e H={0,2,4,6}, dove J è anche un sottogruppo di H.
Classi laterali e Teorema di Lagrange
Sia H un sottogruppo di G. La relazione su G
![{\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d0225f0133ff61f7d83f06bbf41524847ea28a)
è una relazione d'equivalenza, e induce quindi una partizione di G.
Dato un elemento a, la classe laterale destra di H associata ad a è l'insieme
![{\displaystyle Ha=\{ha|h\in H\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877372f7fdc9fa66e5ce4ebb6232ef3f412a8c59)
Si dimostra facilmente che i sottoinsiemi che formano la partizione di G sono le classi laterali destre di H. Due elementi a e a' danno la stessa classe destra se e solo se sono in relazione d'equivalenza. Il numero di queste classi è detto l'indice di H in G ed è indicato dal simbolo [G : H].
Poiché a è invertibile, la mappa
![{\displaystyle \phi :H\rightarrow Ha,\quad \phi (h)=ha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc66c0baec6aaec2b7ca81bc13cd2456e221c73)
è una biiezione, per ogni a. Da questo fatto segue il teorema di Lagrange, che dice che se G è finito
![{\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
dove o(G) e o(H) sono gli ordini (cioè il numero di elementi) di G e H.
Quindi, se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, l'ordine di H deve dividere l'ordine di G.
Si definiscono analogamente le classi laterali sinistre, ottenendo lo stesso risultato. Se
aH = Ha per ogni a (cioè le classi sinistre e destre coincidono), allora H è un sottogruppo normale.
Voci correlate
Collegamenti esterni