现代物理学
${\displaystyle {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\phi }_{n}}{{\partial t}^{2}}}-{{\nabla }^{2}{\phi }_{n}}+{\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)}^{2}{\phi }_{n}=0}$ 时空拓扑（英语：Spacetime topology）：薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程
历史
奠基者 马克斯·普朗克  · 阿尔伯特·爱因斯坦  · 尼尔斯·玻尔  · 马克斯·玻恩  · 维尔纳·海森堡  · 埃尔温·薛定谔  · 路易·德布罗意 · 萨特延德拉·纳特·玻色  · 沃尔夫冈·泡利  · 保罗·狄拉克
相关概念 空间 · 时间 · 能量 · 物质 · 功 随机性 · 信息 · 熵 · 心灵 光 · 粒子 · 波 · 空穴子
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相关研究者 威廉·伦琴 · 亨利·贝可勒尔 · 亨德里克·洛伦兹 · 马克斯·普朗克 · 皮埃尔·居里 · 威廉·维恩 · 玛丽·居里 · 阿诺·索末菲 · 欧内斯特·卢瑟福 · 弗雷德里克·索迪 · 海克·卡末林·昂内斯 · 阿尔伯特·爱因斯坦 · 弗朗克·韦尔切克 · 马克斯·玻恩 · 赫尔曼·外尔 · 尼尔斯·玻尔 · 埃尔温·薛定谔 · 路易·德布罗意 · 马克斯·冯·劳厄 · 萨特延德拉·纳特·玻色 · 阿瑟·康普顿 · 沃尔夫冈·泡利 · 欧内斯特·沃尔顿 · 恩里科·费米 · 约翰内斯·范德瓦耳斯 · 维尔纳·海森堡 · 弗里曼·戴森 · 彼得·塞曼 · 亨利·莫塞莱 · 大卫·希尔伯特 · 库尔特·哥德尔 · 帕斯库尔·约当 · 保罗·狄拉克 · 尤金·维格纳 · 斯蒂芬·霍金 · 菲利普·安德森 · 乔治·勒梅特 · 乔治·汤姆孙 · 亨利·庞加莱 · 约翰·惠勒 · 罗杰·彭罗斯 · 罗伯特·密立根 · 南部阳一郎 · 约翰·冯·诺伊曼 · 彼得·希格斯 · 奥托·哈恩 · 理查德·费曼 · 李政道 · 菲利普·莱纳德 · 阿卜杜勒·萨拉姆 · 杰拉德·特·胡夫特 · 约翰·贝尔 · 默里·盖尔曼 · 约瑟夫·汤姆孙  · 钱德拉塞卡拉·拉曼 · 威廉·劳伦斯·布拉格 · 约翰·巴丁 · 威廉·肖克利 · 詹姆斯·查德威克 · 欧内斯特·劳伦斯 · 安东·蔡林格
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系列条目
量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
入门 术语（英语：Glossary of elementary quantum mechanics） 历史
背景 经典力学 舊量子論 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
基本原理 互补 退相干 纠缠 能级 测量 非局域性（英语：Quantum nonlocality） 量子数 量子態 态叠加原理 对称性（英语：Symmetry in quantum mechanics） 量子穿隧效應 不确定性 波函数 波函数坍缩
实验 貝爾定理的實驗驗證 戴維森-革末實驗 雙縫實驗 伊利澤-威德曼炸彈測試問題 法蘭克-赫茲實驗 Leggett-Garg不平等现象（英语：Leggett–Garg inequality） 馬赫-曾德爾干涉儀 波普尔实验 量子擦除實驗 延遲選擇 薛定谔猫 施特恩-格拉赫实验 惠勒延迟选择实验
表述 概览 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 相空间表述 薛丁格繪景 路徑積分表述
方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义（英语：Quantum Bayesianism） 一致性历史 哥本哈根詮釋 德布罗意-玻姆理论 系綜詮釋 隱變量理論 局部隐变量（英语：Local hidden-variable theory） 多世界诠释 客觀坍縮理論 量子逻辑（英语：Quantum logic） 關係性量子力學 交易詮釋
高阶 相对论量子力学（英语：Relativistic quantum mechanics） 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌（英语：Quantum chaos） 密度矩陣 散射理论（英语：Scattering theory） 量子统计力学 量子機器學習
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克莱因-戈尔登方程式（Klein-Gordon equation）是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程式，它是薛定谔方程式的狭义相对论形式，用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程式是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。

克莱因-戈尔登方程為

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$。

很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

由於平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$

遵從狹義相對論的能量動量關係式

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}$

跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個${\displaystyle \omega }$，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0}$。

自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

其中${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$是动量算符。

薛定谔方程式并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。

利用狭义相对论中的相对论能量公式 ${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ 替换薛定谔方程左边的动能${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$项，最终可得它的协变形式：

${\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.}$

其中${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}$，达朗贝尔算符${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}$.

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程。

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速${\displaystyle c}$和普朗克常数${\displaystyle \hbar }$都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,}$可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式。

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的平面波解：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

其中${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值为

${\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。

克莱因-戈尔登方程有行波解^[1]

• 狄拉克方程式
• 量子场论

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