Matemáticas ou matemática[1] (do grego μαθηματικός, mathēmatikós, 'o que aprende', que á súa vez deriva de μάθημα, máthēma, 'coñecemento', 'estudo', 'aprendizaxe') é o estudo abstracto de cuestións que abranguen os conceptos de cantidade[2][3], estrutura[4], espazo[3], cambio[5][6], e outras propiedades[7]; se ben non hai unha definición xeralmente aceptada[8][9]. Os matemáticos buscan patróns[10][11] e formulan novas conxecturas das que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unha demostración matemática. Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer predicións sobre a natureza.
Por medio da abstracción e do razoamento lóxico, as matemáticas desenvólvense a partir da acción de contar, o cálculo, a medida, e o estudo sistemático das formas e os movementos dos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez na matemática grega, especialmente nos Elementos de Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais do século XIX de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) e outros acerca dos sistemas axiomáticos, fíxose habitual ver a investigación matemática como a busca da verdade mediante a dedución rigorosa a partir de axiomas e definicións elixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata o Renacemento, momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentos científicos para dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.
A filosofía está escrita neste gran libro que está permanentemente aberto aos nosos ollos (o universo), pero este libro non pode ser entendido se primeiramente non se aprende a súa linguaxe e se coñecen as letras coas que está escrito. Está escrito na linguaxe das matemáticas e as súas letras son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas, sen cuxos medios é humanamente imposíbel entender palabra ningunha; sen eles estaremos vagando nun labirinto escuro.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855) referíase ás matemáticas coma "a raíña das ciencias"[13]. Benjamin Peirce (1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que obtén conclusións necesarias"[14]. David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna de que só poida ser así e de ningún outro modo."[15]. Albert Einstein (1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. A matemática francesa Claire Voisin sinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse"[17].
As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas as ciencias naturais, a enxeñería, a medicina e as ciencias sociais. A matemática aplicada, a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, coma a estatística e a teoría de xogos. Os matemáticos tamén se implican na matemática pura sen teren en mente ningunha aplicación práctica, só polo pracer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre a matemática pura e a aplicada e con frecuencia descóbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura[18].
Etimoloxía
Pitágoras escribindo música no fresco A Escola de Atenas de Rafael.
A palabra matemáticas quere dicir "o que se aprende". Vén do grego μαθηματικός, mathēmatikós, "o que aprende", palabra derivada de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe"[19]. O filósofoneoplatónicoIámblico, na súa obra De vita pythagorica, explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos, mathēmatikoi (coñecedores), cos que Pitágoras compartía o coñecemento; e os acusmáticos, akousmatikoi (oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns[20].
Ata arredor do ano 1700, o vocábulo matemáticas tiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía"); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente 1500 e 1800. Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que fai Agostiño de Hipona aos cristiáns prevíndoos dos mathematici co significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.
Definicións de matemáticas
Aristóteles, cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestre Platón, representados no fresco de Rafael A Escola de Atenas.
A definición dada por Aristóteles das matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata o século XVIII[21]. A chegada do século XIX supuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas coma a teoría de grupos e a xeometría proxectiva nas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións[22]. Algunhas destas definicións resaltan o carácter dedutivo de moita da matemática, outras salientan a súa abstracción, e hainas que destacan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer[8]. Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia[9]. Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considéranas indefiníbeis[8]. Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos"[8].
Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome de loxicista, intuicionista e formalista, cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento[23]. Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe[23].
Unha definición temperá en termos de lóxica, "a ciencia que obtén conclusións necesarias", deuna Benjamin Peirce en 1870[14], se ben foron Bertrand Russell e Alfred North Whitehead quen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido coma loxicismo, tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos da lóxica simbólica. A definición de Bertrand Russell de 1903, "toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista[24].
As definicións intuicionistas, desenvolvidas a partir do traballo do filósofo das matemáticasLuitzen Egbertus Jan Brouwer, identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra"[23]. Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.
As definicións formalistas identifican as matemáticas cos seus símbolos e as regras operativas sobre eles. Haskell Curry define as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais"[25]. Un sistema formal é un conxunto de símbolos e regras que indican como se combinan os símbolos para formar fórmulas. A palabra axioma ten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidente per se". Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as regras do sistema.
A inspiración, as matemáticas pura e aplicada, e a estética
Eugene Wigner (á esquerda con Alvin Weinberg) falaba da irrazoábel eficacia das matemáticas nas ciencias.O matemático inglés Godfrey Harold Hardy xustificaba facer matemáticas simplemente pola súa estética.
É moi posíbel que a arte do cálculo fose desenvolvida antes mesmo ca escritura[26], relacionada fundamentalmente co comercio, a agrimensura, a arquitectura e, posteriormente, a astronomía. Actualmente, todas as ciencias aportan problemas que estudan matemáticos, ao mesmo tempo que aparecen novos problemas dentro das propias matemáticas. Por exemplo, o físicoRichard Feynman inventou a integral de camiños da mecánica cuántica, usando unha combinación do razoamento matemático e unha visión física; e a actual teoría de cordas, que aínda está a ser desenvolvida e que trata de unificar as catro forzas fundamentais, continúa inspirando novas matemáticas[27]. Algunhas matemáticas só son relevantes na área na que estaban inspiradas e son aplicadas para outros problemas nese campo. Mais acotío as matemáticas inspiradas nunha área concreta resultan útiles en moitos ámbitos, e inclúense dentro do corpus xeral de conceptos matemáticos. Frecuentemente faise unha distinción entre a matemática pura e a matemática aplicada. Así a todo, a matemática pura ten con frecuencia aplicacións prácticas coma, por exemplo, a teoría de números na criptografía. Este notábel feito é o que Eugene Wigner definiu como «a irrazoábel eficacia das Matemáticas nas Ciencias Naturais»[28]. Como na maioría dos campos do saber, a explosión de coñecementos na era científica levou á especialización: hoxe en día hai centos de áreas especializadas en matemáticas, a última clasificación MSC ten 46 páxinas[29]. Varias áreas das matemáticas aplicadas fusionáronse con outros campos tradicionalmente fóra das matemáticas para se converter en disciplinas independentes, como poden ser a estatística, a investigación de operacións ou a informática.
Para aqueles que senten predilección polas matemáticas hai, con frecuencia, un aspecto estético que define á maioría das matemáticas. Moitos matemáticos falan da elegancia das matemáticas, a súa estética intrínseca e beleza interna. En xeral a simplicidade está moi valorada. Hai beleza nunha demostración simple e elegante, como na demostración de Euclides de que hai infinitos números primos, e nunha elegante análise numérica que acelera o cálculo, así como na transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy na súa obra Apoloxía dun Matemático, expresa a crenza de que estas consideracións estéticas son, en si mesmas, suficientes para xustificar o estudo da matemática pura. Hardy sinala criterios como a relevancia, o inesperado, a inevitabilidade e a economía como factores que contribúen a unha estética matemática[30]. Decotío os matemáticos esfórzanse por achar demostracións que sexan particularmente elegantes, probas que están no "Libro", segundo palabras do prolífico matemático húngaro Paul Erdős[31][32]. A popularidade das matemáticas recreativas é outro signo do pracer que moita xente sente resolvendo problemas matemáticos.
Notación, linguaxe e rigor
Exemplo de notación matemática complexa nunha obra de Russell, no punto concreto onde deduce que 1+1=2.
A maioría da notación matemática que se usa hoxe en día non foi inventada ata o século XVI[33]. Antes diso, as matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba o avance matemático[34]. Euler (1707–1783) foi o responsábel de moitas das notacións que se usan hoxe. A notación moderna fai a matemática moito máis fácil para o profesional, mais os principiantes a encontran complicada. A información está extremadamente comprimida: uns poucos símbolos conteñen unha gran cantidade de información. Ao igual cá notación musical, a moderna notación matemática ten unha sintaxe estrita (que polo seu limitado alcance, varía dun autor a outro e dunha a outra disciplina) e codifica información que sería difícil de escribir doutra maneira.
A linguaxe matemática pode ser difícil de entender para os principiantes. Palabras como "ou" e "só" teñen un significado máis restritivo ca na linguaxe coloquial. Máis aínda, palabras como "aberto" e "campo" adquiriron uns significados matemáticos especializados. Termos técnicos como "homeomorfismo" e "integrable" teñen significados precisos en matemáticas. Outras frases como "se e só se" son exclusivas da xerga matemática. Hai unha razón para a notación especial e o vocabulario técnico: as matemáticas requiren máis precisión cá linguaxe coloquial. Os matemáticos refírense a esta precisión da linguaxe e da lóxica coma "rigor".
Unha demostración matemática é fundamentalmente unha cuestión de rigor. Partindo de axiomas, os matemáticos demostran os seus teoremas usando un razoamento sistemático. Isto é así para evitar "teoremas" erróneos baseados en intuicións falíbeis, como ten ocorrido moitas veces na historia da materia. O nivel de rigor que se espera nas matemáticas foi variando ao longo do tempo: na Grecia clásica buscábanse argumentos detallados, pero no tempo de Isaac Newton os métodos empregados eran menos rigorosos. Os problemas inherentes ás definicións usadas por Newton levaron a un rexurdimento no século XIX da análise coidadosa e da demostración formal. A febleza do rigor é a causa dalgúns dos máis comúns malentendidos das matemáticas. Hoxe, os matemáticos debaten acerca das demostracións asistidas por ordenador: como os longos resultados producidos son difíciles de verificar; tales probas poderían non ser suficientemente rigorosas.[35]
Os axiomas no pensamento tradicional eran "verdades autoevidentes", mais esa concepción é problemática. A un nivel formal, un axioma non é máis ca unha cadea de símbolos nun sistema axiomático, cun significado intrínseco só no contexto de tódalas fórmulas derivadas dentro dese sistema. O programa de Hilbert tiña como obxectivo dotar as matemáticas dunha base axiomática completa (toda sentenza pode ser probada ou refutada) e probar que dita axiomática era consistente (non ten axiomas contraditorios), pero Gödel demostrou a imposibilidade desta axiomatización cando estableceu o seu primeiro teorema de incompletitude que afirma que un sistema axiomático que tente describir a aritmética, non pode ser consistente e completo á vez.[36] Con todo, nalgunha axiomatización as matemáticas redúcense (cando menos o seu contido formal) a non máis que teoría de conxuntos, no sentido de que toda proposición ou demostración pode ser formulada dentro da teoría de conxuntos[37].
Gauss referíase ás matemáticas como "A Raíña das Ciencias"[13]. No latín orixinal Regina Scientiarum, e tamén no alemánKönigin der Wissenschaften, a palabra correspondente a ciencia ten o significado de "campo de coñecemento". Por suposto, as matemáticas son, neste sentido, un campo de coñecemento. A irrupción do método baconiano trae coma consecuencia a especialización, restrinxindo o significado de "ciencia" ás ciencias naturais, contrapoñéndoa ao escolasticismo, o método aristotélico de investigación a partir do primeiro principio. É indubidábel que o papel da experimentación empírica e a observación é insignificante en matemáticas, en contra do que ocorre nas ciencias naturais coma a psicoloxía, a bioloxía ou a física. Albert Einstein afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. Máis recentemente, Marcus du Sautoy chamou ás matemáticas "a Raíña da Ciencia... a principal forza impulsora do descubrimento científico" [39].
Imre Lakatos, lóxico e filósofo das matemáticas que propuxo unha versión especial do falsacionismo para as matemáticas.
Moitos filósofos cren que as matemáticas non son falsaciábeis experimentalmente, e por tanto non son unha ciencia segundo a definición de Karl Popper.
[40]. Porén, nos anos trinta do século XX, os teoremas de incompletitude de Gödel convenceron a moitos matemáticos de que as matemáticas non poden reducirse só á lóxica, e Karl Popper concluíu que "a maioría das teorías matemáticas son, coma as da física e da bioloxía, hipotético-dedutivas: as matemáticas puras por tanto tornan a estar moito máis preto das ciencias naturais cuxas hipóteses son conxecturas, ca o que semellaba non hai moito"[41]. Outros pensadores, especialmente Imre Lakatos, teñen aplicado unha versión específica do falsacionismo para as matemáticas.
Unha visión alternativa é a de que certos campos científicos (coma a física teórica) son matemáticas con axiomas que tentan corresponder á realidade. De feito, o físico teórico J. M. Ziman propón que ciencia é coñecemento público e, por tanto, inclúe ás matemáticas[42]. En calquera caso, as matemáticas teñen moito en común con moitos campos das ciencias físicas, principalmente a exploración das consecuencias lóxicas das hipóteses asumidas. A intuición e a experimentación tamén xogan un papel na formulación de conxecturas, tanto nas matemáticas coma nas outras ciencias. As matemáticas experimentais continúan gañando importancia dentro das matemáticas, e a computación e a simulación xogan un papel crecente nas ciencias e nas matemáticas, atenuando a obxección de que as matemáticas non usan o método científico.
En 2002Stephen Wolfram sostén, no seu libro Un novo tipo de ciencia, que a matemática computacional merece ser explorada empiricamente coma un campo científico[43].
As opinións dos matemáticos sobre este asunto son variadas. Moitos cren que chamarlle ciencia ás matemáticas diminúe a importancia da súa faceta estética e o da súa historia coma unha das sete artes liberais tradicionais; outros pensan que ignorar as conexións coas ciencias é tornarse cego ao feito de que a interrelación entre as matemáticas e as súas aplicacións na ciencia e enxeñería ten provocado moitos desenvolvementos nas matemáticas. As diferenzas destes dous puntos de vista reflíctense no debate filosófico sobre se as matemáticas se crean (é unha arte) ou se descobren (é unha ciencia). Ë habitual ver universidades onde existe unha división nomeada Ciencia e Matemáticas, indicando que os dous campos son afíns pero non coincidentes. Na práctica, os matemáticos agrúpanse tipicamente cos científicos nun sentido amplo, pero sepáranse deles a niveis máis finos. Este é un dos moitos temas tratados na filosofía das matemáticas.
Alén de recoñecer cantidades de obxectos, o home prehistórico aprendeu a contar cantidades abstractas coma o tempo: días, estacións, anos. A aritmética elemental (adición, subtracción, multiplicación e división) tamén foi conquistada naturalmente. Crese que ese coñecemento é anterior á escrita e, por iso, non hai rexistros históricos.
O primeiro obxecto coñecido que atesta a habilidade de cálculo é o óso de Ishango, unha fíbula de babuíno con riscos que indican unha contabilidade, que data de hai 20.000 anos[44].
O desenvolvemento da matemática impregnou as primeiras civilizacións e tornou posíbel a aparición de aplicacións concretas: o comercio, as medicións de terras para a agricultura, a previsión de eventos astronómicos, e ás veces, a realización de rituais relixiosos. As tres primeiras aplicacións poden ser relacionadas en certa forma coa división ampla das matemáticas coma o estudo da estrutura, do espazo e do cambio.
A partir do 3000 a.C., cando babilonios e exipcios comezaron a usar aritmética e xeometría en construcións, astronomía e algúns cálculos financeiros, a matemática comezou a se tornar un pouco máis sofisticada.
O estudo de estruturas matemáticas iniciouse coa aritmética dos números naturais, seguiu coa extracción de raíces cadradas e cúbicas, resolución dalgunhas ecuacións polinómicas de segundo grao, trigonometría e fraccións, entre outras materias.
Representación de Euclides en mármore, no Museo dell'Opera del Duomo de Florencia.
Tales desenvolvementos son atribuídos ás civilizacións acadia, babilónica, exipcia, chinesa, ou aínda ás do val do Indo. Arredor de 600 a.C., na civilización grega, a matemática, influenciada por traballos anteriores e pola filosofía, tornouse máis abstracta. Distinguíronse dúas ramas: a aritmética e a xeometría. Formalizáronse as xeneralizacións, por medio de definicións axiomáticas dos obxectos de estudo, e as demostracións. A obra Os elementos de Euclides é un rexistro importante do coñecemento matemático na Grecia do século III a.C.
A civilización musulmá permitiu que a herdanza grega fose conservada e propiciou a súa confrontación cos descubrimentos chineses e hindús, en particular na cuestión da representación numérica. Os traballos matemáticos desenvolvéranse considerabelmente tanto na trigonometría, coma na introdución das funcións trigonométricas e na aritmética. Desenvolveuse amais a análise combinatoria, a análise numérica e a álxebra de polinomios.
Na época do Renacemento, unha parte dos textos árabes foi estudada e traducida ao latín. A pescuda matemática concentrouse entón en Europa. O cálculo alxébrico desenvolveuse rapidamente cos traballos dos franceses François Viète e René Descartes. Nesa época tamén foron creadas as táboas de logaritmos, extremadamente importantes para o avance científico dos séculos XVI ao XX, sendo substituídas apenas despois da invención das calculadoras. A percepción de que os números reais non son suficientes para a resolución de certas ecuacións tamén data do século XVI. Xa nesa época comezou o desenvolvemento dos chamados números complexos, apenas cunha definición e catro operacións. Unha comprensión máis profunda dos números complexos só foi acadada no século XVIII con Euler.
No inicio do século XVII, Isaac Newton e Leibniz descubriran o cálculo infinitesimal e introduciran a definición de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX a matemática desenvolveuse fortemente coa introdución de novas estruturas abstractas, coma os grupos, grazas aos traballos de Évariste Galois sobre a resolubilidade de ecuacións polinómicas, e os aneis definidos nos traballos de Richard Dedekind.
O século XIX ve con Cantor e Hilbert o desenvolvemento dunha teoría axiomática sobre todos os obxectos estudados e a investigación dos fundamentos matemáticos[45]. Este desenvolvemento da axiomática conducirá a varios matemáticos do século XX a buscar definir todas as matemáticas coa axuda dunha linguaxe, a lóxica matemática.
O século XX coñeceu un forte desenvolvemento das matemáticas cunha especialización crecente dos seus dominios e o nacemento de numerosas ramas novas coma, por exemplo, a teoría da medida, a teoría espectral, a topoloxía alxébrica e a xeometría alxébrica. A informática tivo un grande impacto sobre a investigación: dunha banda, facilitou a comunicación e compartir os coñecementos, e doutra, forneceu dunha formidábel ferramenta para a confrontación con exemplos. Este movemento levou dun xeito natural á modelización e á numerización.
A comprensión e descrición do cambio en variábeis mensurábeis é o tema central das ciencias naturais e o cálculo. Para resolver problemas que dirixen en forma natural cara ás relacións entre unha cantidade e a súa taxa de cambio, e das solucións a estas ecuacións, estúdanse as ecuacións diferenciais.
Os números que se usan para representar as cantidades continuas son os números reais. Para estudar os procesos de cambio utilízase o concepto de función matemática. Os conceptos de derivada e integral, introducidos por Isaac Newton e Leibniz, xogan un papel clave neste estudo, que se denomina análise.
Por razóns matemáticas, é conveniente para moitos fins introducir os números complexos, o que dá lugar á análise complexa.
A análise funcional consiste en estudar problemas cuxa incógnita é unha función, pensándoa como un punto dun espazo funcional abstracto.
Campos importantes en matemáticas aplicadas son a probabilidade e a estatística, que permiten a descrición, a análise e a predición de fenómenos que teñen variábeis aleatorias e que se usan en todas as ciencias.
A análise numérica investiga os métodos para realizar os cálculos en ordenadores.
No tocante á metodoloxía, outra división simple da matemática establece que esta pode ser pura, cando se consideran as magnitudes ou cantidades abstractamente, sen relación á materia; ou aplicada, cando se tratan as magnitudes coma substancia de corpos materiais, e por consecuencia relaciónase con consideracións físicas.
↑Real Academia Galega (ed.). "matemático -a". Dicionario da RAG. Arquivado dende o orixinal o 18 de novembro de 2013. Consultado o 5 de maio de 2013. Ciencia que se ocupa das propiedades dos números, das figuras xeométricas etc., das súas relacións e da súa aplicación a outras ciencias e no que se engloban a aritmética, a xeometría, a álxebra, a trigonometría etc.
↑ 3,03,1Oxford University Press, ed. (2012). "mathematics, n.". Oxford English Dictionary(en inglés). Consultado o 16 xuño 2012. A ciencia do espazo, o número, a cantidade e o axuste, cuxos métodos implican o uso de razoamento lóxico e de notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e análise.
↑Kneebone, G.T. (1963). Dover, ed. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey(en inglés). pp. 4. ISBN0-486-41712-3. Matemáticas ... é simplemente o estudo das estruturas abstractas, ou patróns formais de conectividade.
↑LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Cengage Learning, ed. Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change(en inglés). pp. 2. ISBN1-4390-4957-2. Calculus é o estudo do cambio—como cambian as cousas, e como de rápido o fan.
↑Ramana (2007). Tata McGraw–Hill Education, ed. Applied Mathematics(en inglés). p. 2.10. ISBN0-07-066753-5. O estudo matemático do cambio, o movemento, o crecemento e o decrecemento é calculus.
↑Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". En Springer. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research(en inglés). pp. 7. ISBN3-642-19532-6.
↑ 8,08,18,28,3Mura, Robert (decembro 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics(en inglés)25 (4): 375–385.
↑ 9,09,1Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Springer, ed. Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry(en inglés). pp. 9. ISBN3-0348-0229-3. É necesario, primeiramente, preguntar cal é o significado de "matemáticas" en xeral. Ilustres expertos debateron este asunto ata a saciedade e aínda non se ten acadado consenso sobre se a matemática é unha ciencia natural, unha rama das humanidades, ou unha forma de arte.
↑Steen, Lynn (1988). "The Science of Patterns". Science(en inglés)240 (29 abril): 611–616. Arquivado dende o orixinal o 28 de outubro de 2010. Consultado o 5 de maio de 2013. Resumo do artigo na web da Association for Supervision and Curriculum Development
↑Galilei, Galileo (1623). "Capitolo VI". En Accademia dei Lincei. Il Saggiatore(en italiano). Roma. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
↑ 14,014,1*Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ed. "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics(en inglés) (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.) (Johns Hopkins University) 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. GoogleEprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, GoogleEprint.
↑Hilbert, David (reimpr. 1992). Birkhäuser, ed. Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (cunha introdución en inglés por David E. Rowe)(en alemán). Basel.
↑Franklin, James (2009). "Aristotelian Realism". En Elsevier, Andrew D. Irvine. Philosophy of Mathematics(en inglés). Oxford. p. 104. ISBN978-0-444-51555-1. Consultado o 16 de maio de 2013.
↑ 23,023,123,2Snapper, Ernst (1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine(en inglés)52 (4): 207–16. doi:10.2307/2689412.
↑Kline, Morris (1990). Oxford University Press, ed. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times(en inglés). USA. pp. 140, 261. ISBN0-19-506135-7.
↑Peterson, Ivars (1988). Freeman, ed. The Mathematical Tourist(en inglés). p. 4. ISBN0-7167-1953-3. Uns poucos lamentan que o programa informático non pode ser verificado axeitadamente (en referencia á demostración de Haken-Apple do Teorema das Catro Cores)
↑Suppes, Patrick (1972). Dover, ed. Axiomatic Set Theory(en inglés). p. 1. ISBN0-486-61630-4. Entre as moitas ramas das matemáticas modernas, a teoría de conxuntos ocupa un lugar único: con moi poucas raras excepcións, os entes estudados e analizados en matemáticas poden ser contemplados como certos conxuntos particulares de clases de obxectos
↑Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Springer, ed. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists(en inglés). p. 228.
↑Popper, Karl R. (1995). Routledge, ed. "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years.(en inglés). p. 56. ISBN0-415-13548-6.
↑The Mathematics Department of The State University of New York at Buffalo (ed.). "An Old Mathematical Object"(en inglés). Consultado o 26 de maio de 2013.
21st-century Metropolitan of the Orthodox Church of Ukraine His BeatitudeEpiphaniusMetropolitan of Kyiv and All UkraineOfficial portrait, 2021Native nameЕпіфанійChurchOrthodox Church of UkraineMetropolisKyiv and All UkraineSeeKyivElected15 December 2018Installed3 February 2019OrdersOrdinationby Filaret (Denysenko)RankMetropolitan bishopPersonal detailsBornSerhii Petrovych Dumenko Сергій Петрович Думенко (1979-02-03) February 3, 1979 (age 44)Vovkove, Ivan...
Climate change is the result of the Earth's climate undergoing long-term changes due to the release of greenhouse gases like carbon dioxide (CO2) and methane (CH4). These gases trap heat in the atmosphere, leading to global warming and a hotter planet. Human activities, such as the use of fossil fuels (coal, oil, and natural gas), as well as large-scale commercial agriculture and deforestation, are responsible for the release of these greenhouse gases.[1][2] Greenhouse gas emi...
Eustache I merupakan seorang bangsawan dan pendiri Wangsa Flandria cabang Boulogne. Ia menjabat sebagai Comte Boulogne dari tahun 1046 sampai kematiannya pada tahun 1049. Kehidupan Eustache adalah putra sulung Baudouin II dari Boulogne dan Adelina dari Holland.[1] Eustace menggantikan ayahandanya sebagai Comte Boulogne pada tahun 1042.[2] Eustace I juga menjabat sebagai Comte Lens.[3] Pada tahun 1028 Eustace I meresmikan dasar dari sebuah perguruan tinggi kanon di ista...
Weinberg von Neuengronau IUCN-Kategorie IV – Habitat/Species Management Area Bild gesucht BWf1 Lage Hessen, Deutschland Fläche 50,23 ha Kennung 1435015 WDPA-ID 82879 Natura-2000-ID DE5723303 FFH-Gebiet 50,23 ha Geographische Lage 50° 17′ N, 9° 37′ O50.27619.6155Koordinaten: 50° 16′ 34″ N, 9° 36′ 56″ O Weinberg von Neuengronau (Hessen) Einrichtungsdatum 1979 Weinberg von Neuengronau ist ein Naturschut...
Eva Ruiz Martín Información personalNacimiento 12 de mayo de 1968 (55 años)Málaga (provincia de Málaga, España) Residencia Málaga y Sevilla Nacionalidad EspañolaLengua materna Español Características físicasOjos Marrón oscuro Cabello Castaño claro FamiliaHijos Juan (1997) y Eduardo (1998)Información profesionalOcupación Modelo, profesor de danza y presentadora Empleador Agencia Pública Empresarial de la Radio Televisión de Andalucía (RTVA) (desde 2009) [editar dato...
Former personality disorder involving sadism Medical conditionSadistic personality disorderIllustration showing the pleasure that sadistic people often have from hurting someone.SpecialtyPsychiatry, clinical psychologySymptomscruelty, manipulation using fear, preoccupation with violenceComplicationsSubstance use disorder, marital, occupational and legal difficultiesUsual onsetAdolescenceCausesUnclearRisk factorsChildhood abuseDiagnostic methodBased on symptomsDifferential diagnosisAntisocial ...
Myths dealing with the sun Ra — sun god, supreme deity in Ancient Egyptian religion Sun chariot in Trundholm Solar myth (Latin: solaris «solar») — mythologization of the Sun and its impact on earthly life; usually closely associated with lunar myths. Contrary to the assumptions of ethnographers of the 19th and early 20th centuries, in the primitive, archaic religious and mythological systems, a particularly revered cult of the Sun is not observed. In them, the Sun is perceived...
Cooperación Híbrida Global (Asociación de tecnologías híbridas, anteriormente llamado Advanced Hybrid System 2 o AHS2) es una asociación que desarrolla tecnologías para vehículos híbridos. Esta se conforma por General Motors, Daimler, Chrysler LLC y BMW, la cual se unió en 2005. Esta organización utiliza tecnologías de 2 o 3 engranajes planetarios en una transmisión automática: una, por parte del motor de combustión interna, es el (entrada dividida) conectado con un segundo (sa...
مراد بيغي مرادبيگي - قرية - تقسيم إداري البلد إيران[1] المحافظة محافظة خوزستان المقاطعة مقاطعة رامز الناحية القسم المركزي القسم الريفي قسم الريف الغربي الريفي إحداثيات 31°11′34″N 49°30′22″E / 31.19278°N 49.50611°E / 31.19278; 49.50611 السكان التعداد السكاني 142 نسم...
Sherlock Holmes lutando contra o arqui-inimigo Professor Moriarty Um arqui-inimigo é o principal inimigo de alguém.[1][2][3] Na ficção, é um personagem que é o inimigo mais proeminente e mais conhecido do protagonista, geralmente de um herói. Etimologia A palavra arqui-inimigo originou-se por volta de meados do século XVI, das palavras arqui-[3] (do grego ἄρχω archo que significa 'liderar') e inimigo.[1] Um arqui-inimigo também pode ser referido como um arquirrival[4] ou arquivi...
Potret[pranala nonaktif permanen] Mary Brodrick Mary (May) Brodrick FRGS (5 April 1858 – 13 Juli 1933) adalah seorang arkeolog dan egiptolog yang menjadi salah satu perempuan penggali pertama di Mesir. Dia terus berusaha dalam melakukan studinya meskipun sempat adanya pertentangan dari para tutornya dan sesama siswa karena perbedaan pendapat. Pada tahun 1906, Daily Mail menyebutnya egiptolog perempuan terhebat pada saat itu.[1] Kehidupan awal Brodrick merupakan...
Dieser Artikel befasst sich mit dem Indogermanisten Walther Wüst. Zu anderen Personen siehe Walter Wüst. Vortrag von Walther Wüst am 10. März 1937 vor SS im Münchener Hackerkeller über das Thema: „Des Führers Buch ‚Mein Kampf‘ als Spiegel arischer Weltanschauung!“[1] Aufnahme aus dem Bundesarchiv Das Grab von Walther Wüst auf dem Waldfriedhof (München) Walther Wüst (* 7. Mai 1901 in Kaiserslautern; † 21. März 1993 in München) war ein deutscher Indogermanist und I...
Nuri Andrianis DjatmikaStaf Khusus Kasal Informasi pribadiLahir12 Mei 1966 (umur 57)IndonesiaAlma materAkademi Angkatan Laut (1989)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan LautMasa dinas1989—sekarangPangkat Brigadir Jenderal TNINRP9655/PSatuanKorps MarinirSunting kotak info • L • B Brigadir Jenderal TNI (Mar) Nuri Andrianis Djatmika (lahir 12 Mei 1966) adalah seorang perwira tinggi TNI-AL yang menjabat sebagai Staf Khusus kasal Nuri merupakan lulus...
Dakota Growers Pasta Co.TypeSubsidiaryIndustryFoodFounded1990; 33 years ago (1990) [1]FateAcquired by Viterra in 2010, becoming a brandHeadquartersCarrington, North Dakota, U.S.Key peopleEdward Irion (President)ProductsPastaOwnerPost Holdings (2014–pres.)Website8avepasta.com Dakota Growers Pasta Company is an American brand of pasta and food processing, currently owned by 8th Avenue, a company of Post Holdings. The former Dakota Growers agricultural processing comp...
Mexican footballer (born 1988) In this Spanish name, the first or paternal surname is Layún and the second or maternal family name is Prado. Miguel Layún Layún with Mexico at the 2018 FIFA World CupPersonal informationFull name Miguel Arturo Layún Prado[1]Date of birth (1988-06-25) 25 June 1988 (age 35)[2]Place of birth Córdoba, Veracruz, MexicoHeight 1.76 m (5 ft 9 in)[3]Position(s) Right-backTeam informationCurrent team AméricaNumber...
Tripura Cricket AssociationSportCricketAbbreviationTCAFounded1968AffiliationBCCIHeadquartersTripura Cricket Association, PO Chowmuhani, Agartala, West Tripura, PIN 799001LocationTripuraOfficial websitetcalive.com Tripura Cricket Association is the governing body for cricket in Tripura state in India and for the Tripura cricket team.[1][2][3] It is affiliated to the Board of Control for Cricket in India. References ^ Tripura Cricket Association to build 25,000-seat inte...
11th-century Islamic hadith compiler Abu Bakr Ahmad ibn Husayn al-BayhaqiTitleShaykh al-Islam[1]PersonalBornRamadan 384 AH / October 994Bayhaq, now Sabzevar, Razavi Khorasan Province, IranDied10 Jumadi al-Awwal, 458 AH/ 9 April 1066 (aged 72)Nishapur, now Khorasan, IranReligionIslamEraIslamic golden ageDenominationSunniJurisprudenceShafi'i[2]CreedAsh'ari[3][4][5][6][7]Main interest(s)Hadith, Islamic jurisprudence, Islamic theologyNotable...
Several different ideologies associated with indigenous peoples Indigenism can refer to several different ideologies that seek to promote the interests of indigenous peoples. The term is used differently by various scholars and activists, and can be used purely descriptively or carry political connotations.[1] Definition Main article: Definitions and identity of indigenous peoples In the Americas as well as in Australia, the question is rather straightforward, while it is less easy to...
.jpg)
.png)
