סדרת קושי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

רצף האיברים של סדרת הקושי ${\displaystyle x_{n}}$ מוצגים בנקודות כחולות. אם המרחב שמכיל את הסדרה הוא שלם, אזי לסדרה יש גבול במרחב.

סדרה שאינה סדרת קושי. איברי הסדרה אינם מתקרבים זה לזה ככל שמתקדמים בסדרה.

באנליזה מתמטית, סדרת קוֹשי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים ככל שמתקדמים בסדרה. באופן מדויק יותר, סדרה ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ נקראת סדרת קושי אם לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N}$ מתאים לו, כך שלכל ${\displaystyle n,m>N}$ מתקיים ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$. כלומר, לכל מרחק חיובי ${\displaystyle \varepsilon }$, קטן ככל שיהיה, יש איבר בסדרה שממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ-${\displaystyle \varepsilon }$. הגדרה זו תקפה לא רק עבור מספרים, אלא בכל מרחב מטרי ${\displaystyle \left(X,d\right)}$, כשמחליפים את התנאי האחרון ${\displaystyle d\left(a_{n},a_{m}\right)<\varepsilon }$.

סדרת קושי נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי.

השימושיות של סדרות קושי נובעת מכך שבמרחבים מטריים שלמים (מרחבים בהם כל סדרות קושי מתכנסות לגבול) הקריטריון להתכנסות סדרה תלוי אך ורק באיברי הסדרה, בניגוד להגדרת ההתכנסות שתלויה גם באיברי הסדרה וגם בגבול עצמו. תכונה זו מנוצלת באלגוריתמים, בהם ניתן להראות כי תהליך איטרטיבי מייצר סדרת קושי.

בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. מרחב מטרי שלם הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים גבול. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע הפתוח ${\displaystyle \left(0,1\right)}$ עם המטריקה המושרית מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה ${\displaystyle \left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }}$ היא סדרת קושי שאין לה גבול בקטע.

לא מספיק לדרוש שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הולך וקטן, לדוגמה בסדרה ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}}$, ההפרש בין כל שני איברים עוקבים נעשה קטן יותר ככל שמתקדמים בסדרה: ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{\sqrt {2n}}}}$

אך עם זאת, ככל שערכי n גדלים, כך גם ערכי ${\displaystyle a_{n}}$ גדלים באופן שרירותי. ולכן, לכל אינדקס n ומרחק d, קיים אינדקס m גדול מספיק שעבורו ${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d}$ (מתקיים עבור: ${\displaystyle m>{({\sqrt {n}}+d)}^{2}}$). לכן, לא משנה כמה נתקדם בסדרה, איברי הסדרה לעולם לא יתקרבו זה אל זה, ולכן סדרה זו אינה סדרת קושי.

• אפיון התכנסות לפי קושי
• הגדרת הגבול לפי קושי

• סדרת קושי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• סדרת קושי, באתר MathWorld (באנגלית)